课程中相关章节的证明。
第二章。2.1 简单线性回归最小二乘估计最小方差性质的证明。
对于ols估计式和，已知其方差为。
这里只证明最小，最小的证明可以类似得出。
设的另一个线性无偏估计为，即。
其中。因为也是的无偏估计，即，必须有。
同时。因为]
上式最后一项中
因为，）所以。
而，因为，则有，为此。
只有时，，由于是任意设定的的线性无偏估计式，这表明的ols估计式具有最小方差性。
2.2 最小二乘估计的证明。
用离差形式表示模型时。
而且。因此。
则有。取的期望。
式中 (1)
所以。如果定义。
其期望值为
这说明是的无偏估计。
第三章。3.1 多元线性回归最小二乘估计无偏性的证明。
因为。对两边取期望，
由假定1:]
即是的无偏估计。
3.2 多元线性回归最小二乘估计最小方差性的证明
设为的另一个关于的线性无偏估计式，可知。
为常数矩阵）
由无偏性可得
所以必须有。
要证明最小二乘法估计式的方差小于其他线性去偏估计式的方差，只要证明协方差矩阵之差。
为半正定矩阵，则称最小二乘估计是的最小方差线性无偏估计式。
因为。所以。
由于。所以。
由于。由线性代数知，对任一非奇异矩阵，为半正定矩阵。如果令。
则。由于半正定矩阵对角线元素非负，因此有。
即。这证明了的最小二乘估计在的所有无偏估计中是方差最小的估计式。
3.3 残差平方和的均值为的证明。
由残差向量的定义及参数的最小二乘估计式，有。
可以记，则。
容易验证，p为对称等冪矩阵，即。
残差向量的协方差矩阵为。
利用矩阵迹的性质，有。
两边取期望得。
第五章 5.1在异方差性条件下参数估计统计性质的证明。
1、参数估计的无偏性仍然成立。
设模型为1）
用离差形式表示其中2）
参数的估计量为。
在证明中仅用到了假定。
2、参数估计的有效性不成立。
假设（1）式存在异方差，且，则参数的估计的方差为。
在上述推导中用了假定。
下面对（2）式运用加权最小二乘法（wls）。设权数为，对（2）式变换为。
可求得参数的估计，根据本章第四节变量变换法的讨论，这时新的随机误差项为同方差，即，而的方差为。
为了便于区别，用()wls表示加权最小二乘法估计的，用()ols表示ols法估计的。
比较（5）式与（7）式，即在异方差下用ols法得到参数估计的方差与用wls法得到参数估计的方差相比较为。
令，由初等数学知识有，因此（10）式右端有。
从而，有。这就证明了在异方差下，仍然用普通最小二乘法所得到的参数估计值的方差不再最小。
5.2 对数变换后残差为相对误差的证明。
事实上，设样本回归函数为。
其中为残差，取对数后的样本回归函数为。
其中残差为，因此。
对（12）式的右端，依据泰勒展式。
将（13）式中的用替换，则可近似地表示为。
即表明（11）式中的误差项为相对误差。
第六章：6.1: 存在自相关时参数估计值方差的证明。
第九章 9.1 概率极限性质的证明。
其中：为x2的样本方差，为x2和x3的样本协方差， 为x2和的样本协方差。
9.2 参数一致性的证明。
同理，可证，；和。
9.3 有测量误差模型参数估计结果的推导。
因此，有测量误差模型参数估计的概率极限为。
第11章。11.1 联立方程偏倚的证明。
例如，设联立方程模型为。
对(1)式的ols估计为：
其中利用了和。对上式两边取期望，得。
这里的，则，是的有偏估计。
对（3）式取概率极限，得。
其中：是y与u的样本协方差，其总体协方差为。
是y的样本方差，其总体方差为。
因此 因为，则，这说明不是的一致估计。
两个自变量、因变量相反的简单回归，证明判定系数相等。（09年考题）
简单回归的线性性、无偏性、有效性证明方面的一些简单的问题。
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