矩阵的相似与合同及其等价条件研究。
数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶。
引言。矩阵的相似与合同及其等价三者**性代数中是很重要的概念，**性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助。
1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念。
1.1矩阵等价的定义[1]
定义1.1 如果矩阵可以有矩阵经过有限次初等变换得到，称与是等价的。
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义1.2 如果阶矩阵可以由阶矩阵进过有限次初等变换得到，则称与是等价的。
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：
定义1.3 设矩阵，为n阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵和，使得，则称矩阵与等价，记作∽.
1.2 矩阵相似的定义[2]
定义1.4 设矩阵，为n阶矩阵，如果存在一个是阶可逆矩阵p，使得[ap=b', altimg': w': 87', h': 25'}]则称矩阵与矩阵相似，记作～.
1.2.1 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:
性质1.1 反身性，即任一阶矩阵a与自身相似。
性质1.2 对称性，即如果～，则～.
性质1.3 传递性，如果～，～则～.
性质1.4 [(k_a_+k_a_)p=k_p^ap+k_a_p', altimg': w': 325', h': 28是任意常数）
性质1.5 [(a_a_)p=(p^a_p)(p^a_p)',altimg': w': 294', h': 28
性质1.6 若矩阵与矩阵相似，则与相似为正整数）
证明存在一个可逆矩阵，使得，那么，故可以得到与相相似。
性质1.7 如果矩阵、都是满秩，则～，那么[',altimg': w': 34', h': 25'}]altimg': w': 35', h': 25'}]
证明存在一个可逆矩阵，使得，那么，故可以得到[',altimg': w': 34', h': 25'}]altimg': w': 35', h': 25'}]
性质1.8 如果矩阵～，那么。
证明存在一个可逆矩阵，使得，又因为，，故可以得到。
性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似。
证明设，若矩阵b可逆，，从而和也相似。
若不可逆，则不可逆，即也不可逆。
性质1.10 相似矩阵有相同的特征值。
证明设，故矩阵a的特征值与矩阵b有相同的特征值。
性质1.11 相似矩阵有相同的迹。
证明可以设矩阵与矩阵相似，那么存在一个可逆矩阵，使得，例1 ，，求分别求矩阵、的特征多项式，特征值秩，迹，行列式，矩阵与是否相似，它们之间有什么关系？
解从已知可知，对于的特征多项式。
故a的特征值为2和3.
对于矩阵，矩阵的特征多项式。
故矩阵的特征值是2和3.
存在一个可逆矩阵使得，从定义矩阵与矩阵相似。
从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].
例2 设实数域上的3级实对称矩阵，对角矩阵。求矩阵、的特征值，特征多项式并且矩阵与矩阵相似吗？如果相似求出可逆矩阵。
解由矩阵的特征多项式为。
故矩阵的特征值为5和—4.
容易知道矩阵的特征多项式和矩阵a的相同，故矩阵的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵，验证得到，那么矩阵与矩阵相似，它们有相同的特征值和特征多项式。
1.3 矩阵合同的定义[2]
定义1.5 设，为阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵，使得，则称与合同，记作。
阶矩阵的合同关系具有下列性质：
反身性： 即任一级矩阵与自身合同。
对称性： 即如与合同，则与合同。
传递性： 与合同，与合同，则与合同。
合同的两矩阵有相同的二次型标准型。
任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵。
两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等。
2. 合同矩阵与相似矩阵的关系。
2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].
从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性。
相似 、合同矩阵均有相同的秩。
若矩阵相似与矩阵，则，若矩阵合同于矩阵，则。可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同。
相似与合同的矩阵要求是同型的方阵。
若矩阵于矩阵相似，则要求、都是方阵；若合同与，则要求、都方阵。就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵。
2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].
矩阵的相似与合同有一些不同之处，如～ ，则，与有相同的特征值。但若，那么与的行列式的值不一定相等；与也不一定有相同的特征值。
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