九年级数学 《二次函数》小结与复习学案。
教学目标：1、理解二次函数的概念，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax经过适当平移得到y＝a(x－h)＋k的图象；
2、会用待定系数法求二次函数的解析式，能较熟练地利用函数的性质解决函数与方程、不等式以及几何图形等知识相结合的综合题；
3、掌握二次函数模型的建立，能运用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点和重点：
重点：1、求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数图象的性质。
2、用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
3、利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：1、二次函数图象的平移。2、会运用二次函数知识解决有关综合问题。
学习方法：在理解的基础上掌握二次函数的知识，多思考，灵活运用所学知识。
教学过程：二次函数复习提纲。
知识要点梳理。
知识点一：二次函数的定义。
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
知识点二：二次函数的图象与性质。
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
其中；⑤.几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同。
(2)平行于轴(或重合)的直线记作。特别地，轴记作直线。
3.抛物线中，的作用。
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧。
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式。
(1)一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式。
(2)顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
(可以看成的图象平移后所对应的函数。)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
.(由此得根与系数的关系！)
5。二次函数图象的平移规律。
任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系。
1. 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。
2. 通过下面**可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
知识点四：利用二次函数解决实际问题。
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题。在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。
方法指导：1.求抛物线的顶点、对称轴的方法。
(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(，)对称轴是直线。
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相同两点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
2.直线与抛物线的交点。
1)轴与抛物线得交点为(0，).
2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，)
3)抛物线与轴的交点。
二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式。
判定：①有两个交点抛物线与轴相交；
有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
没有交点抛物线与轴相离。
4）平行于轴的直线与抛物线的交点。
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点。
6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故。
例1、已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点p(3，4m).
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：(1)因为点p(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1
所以y1＝x＋1，p(3，4). 因为点p(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有。
4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x2－8x＋10
(2)依题意，得解这个方程组，得，所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).
例2、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点a(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点b、c。
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点m在第四象限内的抛物线上，且om⊥bc，垂足为d，求点m的坐标。
课堂小结：1．归纳二次函数三种解析式的求法：一般式、顶点式、交点式。
2．强调二次函数与方程、不等式、三角形，一次函数等知识综合的综合题解题思路。
3. 常见的数学思想方法：方程思想、转化思想，化归思想、待定系数法、数形结合法等等。
课堂练习：一、填空。
1. 如果一条抛物线的形状与y＝－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，它的解析式是。
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且过(3，0)，则a＋b＋c
二、选择。3．如图(1)，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则下列结论成立的是( )
a．a＞0，bc＞0 b. a＜0，bc＜0 c. a＞o，bc＜o d. a＜0，bc＞0
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )
a．y＝－x2＋2x＋3 b. y＝x2－2x－3
c．y＝－x2－2x＋3 d. y＝－x2－2x－3
5．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )
a．a＋c b. a－c c．－c d. c
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(3)所示，下列结论中： ①abc＞0，b＝2a；③a＋b＋c＜0，④a－b＋c＞0，正确的个数是( )
a．4个 b．3个 c. 2个 d．1个。
7. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
三、解答题。
8. 已知抛物线y＝x2－(2m－1)x＋m2－m－2。
(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，(2)分别求出抛物线与x轴交点a、b的横坐标xa、xb，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)
(3)设△abc的面积为6，且a、b两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。
作业训练：1．二次函数y=－x2＋6x－5，当时， ，且随的增大而减小。
2.抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（ ）
a． b． c． d． ．
3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ）
a．x =2 b．x =－2 c．x =－1 d．x =1
4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
a．3 b．5 c．－3和5 d．3和－5
5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）
6．二次函数的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）
a．a＞0，b＜0，c＜0 b．a＞0，b＞0，c＞0
c．a＜0，b＜0，c＜0 d．a＜0，b＞0，c＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
a．0．71s b．0.70s c．0.63s d．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ）
a．（－2，1） b．（2，l） c．（2，－1） d．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
a．这两个函数图象有相同的对称轴 b．这两个函数图象的开口方向相反。
c．方程－x2+k=0没有实数根d．二次函数y=－x2＋k的最大值为。
10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ）