2023年景润杯数学竞赛试题(专业组)
伪装者。2023年6月9日。
注：不知为何上传到文库后在文库显示会乱码，不过**下来看就不会了。
高等代数。1.(10分)设φ为数域f 上n 维线性空间v 的线性变换，满足φ2=φ.求证：v =kerφ⊕imφ.其中，kerφ=,imv }.
2.(10分)设c 上n 阶方阵a 的特征值全部为1.求证：对于任意自然数m ,a 与a m 相似。
3.(10分)设f (x )=a 2016x 2016+a 2015x 2015+··a 1x +a 0为整系数多项式。假设5整除a 0,a 1,..
a 29，但5不整除a 30,52不整除a 0.证明：f (x )在有理数域上一定有次数大于等于30的不可约因式。
4.(10分)设a,b 均为n 阶实对称矩阵，且它们的特征值的绝对值均≥1.设λ为方阵ab 的实特征值，证明：λ的绝对值≥1.
数学分析。1.(15分)假设s n =1+1
···1.求证：(a)对于n >1，成立n (n +1)1n 1
b)对于n >2,成立(n 1)n 1/(n 1)2.(15分)求证：∫10cos x √1x 2d x >∫10sin x √1x 2d x .
3.(10分)假设r (u,v )为二元有理函数，满足r (sin x,cos x )=r (sin x,cos x ).证明：
可以使用变换t =cos x 将不定积分i =∫r (sin x,cos x )d x 转化为i =∫r (t )d t .其中r (t )为一元有理函数。
4.(10分)设函数f (x )在区间(∞,上二阶可导，满足lim x →+
f (x )=1,以及|f ′′
x )|2,x ∈[0,+∞求证：lim x →+f ′
x )=0.5.(10分)设函数f (x )在区间(∞,上有任意阶导数，满足n →∞
f (n )(0)=1,且对任意的正整数n ,以及任意的x ∈(有。
f (n )(x )+f (n 1)(x ) x |n 3/2
求上极限函数lim n →∞
f (n )(x ).2
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