a卷）考试（考查）：考试时间：200 年月日
本试卷共7页，满分100 分； 考试时间：120 分钟。
考生注意：答题前请将密封线内的项目填写清楚。
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.
1．在里一定能整除任意多项式的多项式是b 】
零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式。
2．设是的一个因式，则 【 c 】
3．,是阶方阵，则下列结论成立的是c 】
且 . 或 .
4．设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个不可逆b 】
5．设为3阶方阵，且，则a 】
6．设为阶方阵的伴随矩阵，则d 】
7．下列对于多项式的结论正确的是d 】
如果，那么
如果多项式在有理数域上可约，则它一定存在有理根。
每一个多项式都有唯一确定的次数。
奇数次实系数多项式必有实根。
8． 方程组为，且，则和原方程组同解的方程组为 【 a 】
（为可逆矩阵为初等矩阵）
原方程组前个方程组成的方程组。
二．填空题（本大题共6个小题，每空3分，共24分。请将正确结果填在题中横线上）.
1．把表成的多项式是；
2．设，，若，则。
3．当k = 5 ，l = 4 时，5阶行列式的项取“负”号；
4. 设，则 -20 ；
5．设n > 2,为互不相等的常数，则线性方程组。
的解是 (1,0,…,0
三．计算题（本大题共4个小题，共34分。请写出必要的推演步骤和文字说明）.
2．（本小题8分）为何值时，齐次线性若方程组。
有非零解，并求出它的一般解。
解： 组有非零解，得2分。
对系数矩阵施行行初变换如下：
6分。故一般解为(为自由未知量8分。
3．（本小题8分）
设=，，求。
解： 易知2分。
而6分。故8分。
4．（本小题12分）取何值时，线性方程组。
有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解。
解： 对增广阵施行行初变换如下：
4分。易知。
1) 当，即时， ,组有唯一解。
8分。2) 当时，未知量个数，组有无穷多解
为自由未知量10分。
3) 当时， ,组无解12分。
四．证明题：（本大题共2个小题，共18分。证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.
1．（本小题10分）
证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和。
证： 设a为m×n矩阵且秩a=r，则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使。
2分。又4分。
8分。由于秩bk=秩（p-1errq-1）=秩ekk=1
所以a可表成r个秩为1的矩阵之和10分。
2．（本小题8分）
设是一个整系数多项式，证明：若与都是奇数，则不能有整数根。
证明： 用反证法。
假设有整数根，则，其中为整系数多项式，--3分。
于是。5分。
即。但与都是奇数，而不同为奇数，因而矛盾7分。
故不能有整数根8分。
高等代数第一学期期末试卷答案
高等代数 北大版 第一学期考试卷答案。一 选择题 每小题3分，共24分 二 填空题 每小题3分，共 分 5 d三 计算题 本大题共 个小题，共2 分。请写出必要的推演步骤和文字说明 6分 设，与是什么数时，能被整除？解 方法。一 利用辗转相除法，得余式 4分。由已知2分。方法。二 由于能被整除，而的...
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1 在里一定能整除任意多项式的多项式是b 零多项式 零次多项式 本原多项式 不可约多项式。2 设是的一个因式，则 c 3 是阶方阵，则下列结论成立的是c 且 或 4 设阶矩阵满足，则下列矩阵哪个不可逆b 5 设为3阶方阵，且，则a 6 设为阶方阵的伴随矩阵，则d 7 下列对于多项式的结论正确的是d ...
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