2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学文史类。
一、选择题（每小题5分，共8小题）
1）设集合，，，则。
考点】集合、集合间的基本运算。
解析】，；故选b
2）设，则“”是“”的。
充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件。
考点】简易逻辑，充分条件与必要条件。
解析】解得：；解得： ，故选b
3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为。
考点】古典概率模型、排列组合。
解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：；，故选c
4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的的值为，则输出的的值为。
考点】程序框图。
解析】19→n→18→n→y→6→n→y→2→y→end
故选c5）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，△是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为。
考点】双曲线的几何性质。
解析】因为△是边长为2的等边三角形（为原点）
所以，，所以直线方程为。
所以渐近线方程其中一条为，所以，，解之得：，故选d
6）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为。
考点】函数单调性与奇偶性、借助函数性质比较大小。
解析】因为在上是奇函数，所以有，即；又因为在上是增函数，且。
所以，故选c
7）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则。
考点】三角函数图象性质及其解析式。
解析】函数，，振幅为2，所以如图所示：
若函数图象如图表1所示，，解得，不满足最小正周期大于。
所以函数图象如图表2所示， ，解得，，又因为，所以，所以，故选a
8）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是。
考点】分段函数、不等式恒成立、数形结合。
解析】函数的图象如下图（左），若关于的不等式在上恒成立，则不妨设，“在上恒成立”表示图象与图象应如下图（右）所示。
找到两个临界位置： 与相切； 过点。
1 与相切时，，，解得，，代入，解得，（舍）
2 过点，代入，，解得（舍）
故的取值范围在-2与2之间，故选a
二、填空题（每小题5分，共5小题）
9）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为___
考点】复数的除法运算、复数为实数。
基本解法】为实数，所以，
快速解法】为实数与成比例，比例为，所以。
10）已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为___
考点】导数的应用---求函数图象在切点处切线的斜率。
解析】函数的导函数，所以，切点，斜率为，所以代入切线点斜式：，在轴上的截距为：，所以答案为1
11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___
考点】空间几何体正方体与球；球内接正方体的棱长与球半径的关系：
解析】球的表面积公式，所以棱长，计算得：，，
12）设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为___
考点】抛物线的几何性质，圆的几何性质。
解析】抛物线的焦点为，准线为，所以可设，，，所以。
在直角三角形中，，所以，所以圆的圆心，半径等于1，所以圆。
13）若，，则的最小值为___
考点】基本不等式
解析】（）当且仅当“”、同时成立时，等号成立，解之得：
14）在△abc中，，，若， ，且，则的值为___
考点】向量的线性表示，向量的数量积。
解析】， 所以。
三、解答题。
15）（本小题13分）
在△中，内角所对的边分别为，已知，
ⅰ）求的值。
ⅱ）求的值。
考点】解三角形、正弦定理、余弦定理、和角差角正弦公式展开。
解析】（ⅰ根据正弦定理，可化为，解得：
另外根据余弦定理：
ⅱ）根据，解得，所以，
16）（本小题13分）
电视台**甲、乙两套连续剧，每次**连续剧时，需要**广告，已知每次**甲、乙两套连续剧时，连续剧**时长、广告**时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总**时间不多于600分钟，广告的总**时间不少于30分钟，且甲连续剧**的次数不多于乙连续剧**次数的2倍，分别用表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数。
ⅰ）用列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
ⅱ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
考点】线性规划。
解析】ⅰ）分别用表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数。
ⅱ）使总收视人次最多，最大。
平移，当直线过a点时，截距最大，此时。
17）（本小题13分）
如图，在四棱锥中， 平面，∥，
ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值。
ⅱ）求证： 平面。
ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。
考点】空间中点线面位置关系、异面直线夹角、
线面垂直判定、直线与平面所成的角。
解析】（ⅰ因为∥，所以等于异面直线与所成的角。
因为平面，所以，，
ⅱ）证明：因为平面，所以，又因为∥，所以。
因为，且，所以平面。
ⅲ）取上三分点， ，平面，所以等于直线与平面所成角，
18）（本小题13分）
已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，
ⅰ）求、的通项公式。
ⅱ）求数列的前项和。
考点】等差数列与等比数列通项公式，等差数列前项和为，等差等比相乘数列的前项和。
解析】ⅰ）已知为等差数列，是首项为2的等比数列，且公比大于0
所以，，，解之得：（舍）
解之得： 所以，
不妨设数列的前项和为。
-②得： 整理得：
19）（本小题14分）
设，，已知函数，
ⅰ）求的单调区间。
ⅱ）已知函数和函数的图象在公共点处有相同的切线。
（ⅰ）求证：在处的导数等于0
ⅱ）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围。
考点】导函数的应用---求原函数的单调区间与原函数图象在切点处切线的斜率；利用导数证明不等式。解析】
因为，所以。
所以，的单调增区间，的单调减区间。
ⅰ）与在公共点处有相同的切线。
首先，；其次， ，所以。
ⅱ）等价于，，，所以极大值点。
若关于的不等式在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立。
等价于， 当，在递增，在递减，为最大值， ，令，在递增，在递减，所以，20）（本小题14分）
已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，△的面积为。
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）设点**段上，，延长线段与椭圆交于点，点、在轴上，∥，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为。
（ⅰ）求直线的斜率。
ⅱ）求椭圆的方程。
考点】椭圆的几何性质。
解析】ⅰ），因为，所以，故，
ⅰ），设，所以，，，因为，两边平方，解之得：，（舍）
代入，得，直线的斜率等于。
ⅱ）直线fp的方程：；为求点p的坐标，联立方程解方程组。
解之得：（舍），所以。
因为，所以，即，而∥，且直线与直线间的距离为，所以直线与直线垂直于，由（ⅰ）直线的斜率等于，可得，所以，解之得，所以，所以。
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