一、填空题(每小题5分,共25分)
1.设,则
23. 设。
4.设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足,又,求=
5.设函数,则的零点个数为
a) 0. (b) 1. (c) 2. (d) 3.
二、(5分)设f(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件:,且f(0)=0,
求f(x)所满足的一阶微分方程;
三、(10分)已知,,求级数的和.
四、(10分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在,使。
五、(10分)计算,其中σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。
六、(10分)设有连续的二阶导数,,且求,其中是曲线在点处切线在x轴上的截距。
七、(10分)若非负函数在区间上的任一子区间不恒为零,而在闭区间上处处有.证明:方程在内至多只有一个实根.
八、(10分)设函数在内三阶可导,且和在内有界,证明和在内有界.
九、(10分)设在内,函数连续,单调减少,证明:.
十。讨论二元函数在点(0,0)处连续性及可偏导性。
十一。设函数当时有定义且可微分两次,应当如何选择系数,使函数。
是可微分两次的函数?
十二。 十三。判别级数的收敛性。
十四。求函数在处的n阶导数。
十五、 已知是微分方程的一个特解,求方程的通解。
十。六、设是的两个不同的解。试证方程的任意解都有下列恒等式成立。
十。七、求幂级数的收敛域及和函数
十。八、证明:当时,比是高阶无穷小。
十。九、计算。其中,外侧。
二。十、证明:,其中是球面。
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