2023年全国初中数学联赛（初二组）决赛试卷。
3月23日上午8：45——11：15）
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1. 若，则的值是。
a）0bcd）或。
2. 设，，，则的大小关系是（ ）
a） （b） （c） (d)
3. 设均为正整数，且，满足，那么以为边长的三角形有。
a）5个 （b）7个c） 10个 （d）12个。
4. 如图，已知在平行四边形abcd中，邻边和邻角均不
相等，e、f分别是bo与do的中点，那么这个图形。
中全等三角形的对数为。
a）5对 （b）6对 （c） 7对 （d）8对。
5. 若整数，都不能被5整除，但能被5整除，则下列式子不能被5整除的是。
a） （b） （c） （d）
6. 有盐水若干克，盐水浓度为3%，加入克清水后，盐水浓度为2%，再加入。
克清水后，则此时盐水浓度为。
a）1b）1.25c）1.5% （d）1.75%
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1． 为常数，且对任意实数都成立，则的值为。
2． 如图，两张相同的长方形纸片，长为2，宽为1，横竖紧靠。
放在一起，过f的直线分别交ah于m，cd于n，且与。
梯形面积相等．则am的长度为。
3． 若a、b是正整数，且满足，则的值为。
4. 已知的面积为4，，作的角平分线交ac于e，过c作be的垂线，垂足为，则的面积为。
三、（本大题满分20分）
如图，已知凸四边形abcd中，，ac平分，过c作ab的垂线交于e．
求证：．四、（本大题满分25分）
已知三个一次函数、和，1）若这三个函数图像能够围成三角形，求实数b的取值范围；
2）若这三个函数图像所围成的三角形面积为时，求实数b的值．
五、（本大题满分25分）
设不全相等的非零实数满足，求的值。
2023年全国初中数学联合竞赛（初二组）决赛。
试题参***及评分标准。
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、c 2、d 3、b 4、b 5、a 6、c
二、填空题（本题满分28分，每小题7分
三、（本大题满分20分）
如图，已知凸四边形abcd中，，ac平分，过c作ab的垂线交于e．求证：．
证明：如图，作b、e关于ac的对称点e’、b’，连接eb5分。
因为ac为的平分线，故在ad的延长线上，且，……10分）
故，所以，（15分）
又⊥，故，所以（20分）
四、（本大题满分25分）
已知三个一次函数、和，1）若这三个函数图像能够围成三角形，求实数b的取值范围；
2）若这三个函数图像所围成的三角形面积为时，求实数b的值．
解：（1）设直线l1:与l2:交于点，（5分）
只有当直线：过时，三直线不能构成三角形，此时，故当时，三直线围成三角形． （10分）
2）联立解得；即直线的交点。
联立得，即直线的交点（15分）
则三直线围成的三角形为，其面积。
（20分）故，则或者，解得或者．
所以，所求的实数或者． （25分）
五、（本题满分25分）设不全相等的非零实数。
满足，求的值。
解由。得。……5分。
设，，，则，且， 10分。
通分即得，展开后整理得，所以。 15分。
即，所以，分解因式得。
20分。又不全相等，所以，故。 25分。
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