2019测试题

水力涡轮发电机的最优化。

小浪底是中国黄河上著名的水力发电站。大坝内的水通过管道流入发电站，水流通过管道的流速依赖于外部的条件而变化。

假设发电站有三个不同的水力涡轮发电机运行，每一个涡轮机有一个已知（惟一）的电力函数，它给出了涡轮发电机产生电力的总量，是通过涡轮机水流的函数。流入发电站的可以分配给每个涡轮机不同的体积，问题是如何确定水量在涡轮机之间分配方案，使得对于任意的水流总量能产生最大的总电能。

由实际的经验和伯努利方程，如果水流量在标定的范围内，已经确定了每个涡轮机的电力产量：

kw1(18.890.1277q14.08105q12)(1701.6106qr2)

kw2(24.510.1358q24.69105q2)(1701.6106qr2)

kw3(27.020.1380q33.84105q32)(1701.6106qr2)250q11110,250q21110,250q31225

这里。qi通过涡轮机i的水流量（单位：ft3/s)kwi涡轮机i产生的电力（单位：kw)qr通过发电站的总水流量（单位：ft3/s)

1．如果三个涡轮机都使用，我们希望确定在产生最大总发电量时，对每一个涡轮机的水流量qi的限制是各个水流的总和必须等于总水流，并且给定的定义域限制必须满足。利用拉格朗日乘数法求每个涡轮机的水流(qr的函数），使得在q1q2q3qr限制条件以及每个qi的定义域限制条件满足时总的发电量最大。

2．如果水流量为2500ft3/s,确定涡轮机的水流分布，并验证（通过尝试临近的一些分布）你的结果确实是一个最大值。

3．直到现在我们假设所有的涡轮机都在运转，是否在某些情况下仅仅使用一个涡轮机能产生更多的电力？绘出三个电力函数的图形并用它帮助判断：当水流量是1000ft3/s时，应该怎样分布给三个涡轮机或者是只给一个涡轮机。

（如果你确定只使用一个轮机，那么是哪一个？）如果水流量是600ft3/s呢？4．对于某种程度的水流量可能使用两个轮机更好。

如果水流量是1500ft3/s,你推荐使用哪两个涡轮机？利用拉格朗日乘数法确定水流在这两个涡轮机之间应该怎样分配才能使得发电量最大。对于这样的水流，使用两个涡轮机是不是比使用三个更有效？

5．如果水流量是3400ft/s时，你会向运营公司提出什么建议？