本章概况。
本章由三个部分构成．1．二次函数的图象与性质．2．二次函数与一元二次方程之间的关系．3．二次函数的实际应用．知识方面，它是在一次函数，反比例函数的基础上，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充同时，也是以后学习初等函数的基础．本章配有丰富的实际应用实例，让学生充分感受到数学的应用价值与实际意义，激发学生学习数学的热情，让他们在应用中得到锻炼，各方面能力得到提高．
本章教学目标。
1．知识与技能。
l) 了解二次函数的定义，能用**、表达式、图象来表示变量之间的二次函数关系．
2) 会用描点法作出二次函数图象．
3) 理解二次函数图象及其性质，能根据二次函数表达式确定二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．
4) 理解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
5) 能利用二次函数解决实际问题，发展学生的数学应用能力．
2．过程与方法。
l) 经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数字的方法描述变量之间的数量关系．
2) 经历二次函数图象的探索过程，从简单到复杂，从特殊到一般，逐步探索，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．（可采用联想、对比、概括和反思等方法）
3) 进一步加强用函数观点来解决实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观。
通过作图、类比、总结与归纳，逐步完善对二次函数图象及其性质的认识，积累与人合作、**、交流的经验．获得相应的知识与技能．
通过二次函数的大量实际应用，获得用函数解决实际问题的经验，体会二次函数的意义与价值．
本章重点难点。
1．重点。了解二次函数的含义，理解二次函数的图象及其性质．能用二次函数的性质解决实际问题，体会一元二次方程与二次函数的关系．
2．难点。l) 逐步获得二次函数图象特征及其性质．
2) 应用二次函数解决实际间题．
本章课时分配。
本章教学建议。
1．在利用函数图像讨论二次函数的性质时，要放慢节奏，逐步理解、完善．要充分结合点的坐标的意义及实际问题中包含的特定意义，来理解函数的图象与性质。
2．加强数形结合的思想，达到数形互补，从而提高学生的分析能力．
3．在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时，要尽量引导学生进行图象与图象之间的比较，表达式与表达式之间的比较，建立图形和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数图象的对称轴、顶点坐标公式的理解．
4．注意小规律的理解与总结强调解决实际问题的注意事项．（如平面直角坐标系的建立，横轴、纵轴的实际意义，自变量的取值范围等）
26.1二次函数。
第1课时。教学目标。
1．知识与技能。
能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力。
2．过程与方法。
逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验。
3．情感、态度与价值观。
进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用．
教学重点难点。
1．重点。二次函数实例分析、二次函数定义的理解。
2．难点。从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系．
教与学互动设计。
一）创设情境导入新课。
导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课。
导语二观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间**（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．
导语三观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线 … **这些优美的弧线与什么函数有关呢？
二）合作交流解读**。
1．用自变量的二次式表示函数关系
想一想】① 正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝ 6x2 ．（用含x的代数式表示） ②圆的面积为s，半径为r，则s = r2（用含 r 的代数式表示）
** l】多边形的对角线d与边数n有什么关系？
思路分析】从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？
答案】从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作·n·（n-3）条对角线。即d=·n·（n-3）.
点评】思路是从简单到复杂．
易错点】对关系式中不很理解。
**2】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定．y 与x之间的关系应怎样表示？
解析】一年后的产量为20(1+x).
再过一年后的产量为20(1+x)2.
即两年后的产量为20(1+x)2.
答案】y=20(1+x)2
点评】此题必须理解每一年的产量。
2．二次函数的定义。
观察比较以下关系式。
y=bx2；②d=n·（n-3）即；③y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20
函数①②③有什么共同点与不同点．
共同点：a. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式
b．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式．
二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
注意】①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．
定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2++3，也当成二次函数)
三）应用迁移巩固提高。
类型之一二次函数定义的判定及其应用。
例1下列函数是二次函数的有。
解析】a 符合二次函数定义，故它是二次函数． b.是一次函数． c,d都出现分式，故c,d都不是二次函数。
答案】a点评】紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）.
变式题若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1.
类型之一实际问题中的二次函数。
例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形。剩余的部分的面积为ycm2.
1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数。
2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？
分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积。
解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144
y是x的二次函数。
2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2.
点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来。
变式题一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积s与半径r之间的关系式。
分析】s表=s侧+2s底。
解：s侧=2лr·r=2лr2，s底=лr2，s表=2 s底+ s侧=2лr2+2лr2=4лr2.
点评】s侧=ch=2лr·h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解。
例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式。
分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可。
解：m=n·（n-1），即m=n2-n.
点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。
四）总结反思拓展升华。
点评】1. 通过实际问题情境，引入二次函数的概念，让学生在观察、归纳中加深对二次函数的理解与掌握。
2. 二次函数的概念：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数称为y关于x的二次函数。
反思】二次函数与一次函数有哪些异同？与反比例函数有哪些异同？
拓展】如果函数是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
分析】紧扣二次函数定义。
解：根据题意知。
k=2.特别注意】易错点为忽视k≠0的条件。
五）当堂检测反馈。
1. 二次函数y=ax2中，当x=1时，y=2，则a= 2 .
解析】将x=1，y=2，代入y=ax2中，解得a=2.
2. 已知函数y=(a+2)x2+x+3是二次函数，则常数a的取值范围是 a≠-2 .
解析】∵二次函数中二次项系数不能为0. ∴a+2≠0,即 a≠-2
3. 下列函数中是二次函数的是 （ c ）
a. c.
分析】只有c满足二次函数的定义。
4. 设y=y1-y2，y1与成反比列，y2与x2成正比列，则y与x的函数关系是（ c ）
a.正比列函数 b. 反比列函数 c. 二次函数 d. 一次函数。
解析】∵y1与成反比列，∴可设，即y1=k1x（k1≠0）.
∵y2与x2成正比列，∴可设y2=k2x2（k2≠0）∴y=y1-y2=k1x- k2x2，∴y是x的二次函数。
5．已知：函数y=(m+1) +m-1)x (m是常数)
1)m为何值时，它是二次函数？
2) m为何值时，它是一次函数？
解：(1)由得。
m=4，即m=4时，它是二次函数。
2)当m=-1时，原函数为y=-2x.
当m2-3m-2=1时，. m=-1或或时，它是一次函数。
6．m个人参加一次会议，他们之间任意两人握一次手，则他们握手的总次数y与人数m之间有何关系？
解： 点评】与例3的方法完全一样。
新人教版九年级上26 1 2教案
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