专题46 图形的相似。
聚焦考点☆温习理解。
1、比和比例的有关概念：
1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。
2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项。
3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项。
4）**分割：把一条线段（ab）分割成两条线段，使其中较长线段（ac）是原线段ab与较**段（bc）的比例线段，就叫作把这条线段**分割。即ac2=ab·bc，ac=；一条线段的**分割点有两个。
2.比例的基本性质及定理。
3.平行线分线段成比例定理。
1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
4.相似三角形。
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
5．相似三角形的判定。
1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
2)两角对应相等，两三角形相似；
3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
4)三边对应成比例，两三角形相似；
5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
6．相似三角形性质。
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
7．相似多边形的性质。
1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
8．位似图形。
1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
名师点睛☆典例分类。
考点典例。一、比例的基本性质、**分割。
例1】已知，则的值是（ ）
a． b． c． d．
答案】d．故选d．
考点：比例的性质．
点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
举一反三】若4y-3x=0，则。
答案】.考点：比例的性质．
考点典例。二、三角形相似的性质及判定
例2】（2016湖南怀化第21题）如图，△abc为锐角三角形，ad是bc边上的高，正方形efgh的一边fg在bc上，顶点e、h分别在ab、ac上，已知bc=40cm，ad=30cm．
1）求证：△aeh∽△abc；
2）求这个正方形的边长与面积．
答案】（1）详见解析；（2）正方形efgh的边长为cm，面积为cm2．
解析】考点：相似三角形的判定与性质．
点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
举一反三】2016湖北武汉第23题）（本题10分）在△abc中，p为边ab上一点．
1) 如图1，若∠acp＝∠b，求证：ac2＝ap·ab；
2) 若m为cp的中点，ac＝2， 如图2，若∠pbm＝∠acp，ab＝3，求bp的长；
如图3，若∠abc＝45°，∠a＝∠bmp＝60°，直接写出bp的长．
答案】（1）详见解析；（2）①bp＝；②
∠bpm＝∠cp0a，∠bmp＝∠cap0，△ap0c∽△mpb，∴，mp p0c＝ap0 bp＝x（－1＋x），解得x＝
bp＝－1＋＝．
考点典例。三、相似三角形综合问题。
例3】（2016湖北**第24题）如图1，ab为半圆o的直径，d为ba的延长线上一点，dc为半圆o的切线，切点为c．
1）求证：∠acd=∠b；
2）如图2，∠bdc的平分线分别交ac，bc于点e，f；
求tan∠cfe的值；
若ac=3，bc=4，求ce的长．
答案】（1）详见解析；（2）.
2）解：①∵cef=∠ecd+∠cde，∠cfe=∠b+∠fdb，∠cde=∠fdb，∠ecd=∠b，∠cef=∠cfe，∵∠ecf=90°，∠cef=∠cfe=45°，tan∠cfe=tan45°=1．
在rt△abc中，∵ac=3，bc=4，由勾股定理得ab=5，∠cda=∠bdc，∠dca=∠b，△dca∽△dbc，，设dc=3k，db=4k，cd2=dadb，9k2=（4k﹣5）4k，k=，cd=，db=，考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理。
点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
举一反三】2016湖北鄂州第22题）（本题满分10分）如图，在rt△abc中，∠acb＝90，ao是△abc的角平分线。以o为圆心，oc为半径作⊙o。
1）（3分）求证：ab是⊙o的切线。
2）（3分）已知ao交⊙o于点e，延长ao交⊙o于点d， tand＝，求的值。
3）（4分）在（2）的条件下，设⊙o的半径为3，求ab的长。
答案】(1)详见解析；（2）；（3）.
解析】试题分析：（1）过o作of⊥ab于f，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；（2）连接ce，证明△ace∽△adc可得 = tand＝；（3）先由勾股定理求得ae的长，再证明△b0f∽△bac，得，设bo=y ，bf=z，列二元一次方程组即可解决问题。
试题解析：⑴证明：作of⊥ab于f
ao是∠bac的角平分线，∠acb=90
oc=ofab是⊙o的切线。
易证rt△b0f∽rt△bac
得，设bo=y bf=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z= y=
∴ab=＋4=
考点：圆的综合题。
考点典例。四、相似多边形与位似图形。
例4】（2016辽宁营口第15题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△abc的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点o为位似中心，画△a1b1c1，使它与△abc的相似比为2，则点b的对应点b1的坐标是。
答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）．
考点：作图-位似变换．
点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
举一反三】2016湖北**第5题）如图，以点o为位似中心，将△abc缩小后得到△a′b′c′，已知ob=3ob′，则△a′b′c′与△abc的面积比为（ ）
a．1：3 b．1：4 c．1：5 d．1：9
答案】d.考点：位似变换．
课时作业☆能力提升。
1. （2016黑龙江哈尔滨第9题）如图，在△abc中，d、e分别为ab、ac边上的点，de∥bc，be与cd相交于点f，则下列结论一定正确的是（ ）
a． b． c． d．
答案】a.解析】
试题分析： ∵de∥bc，∴（平行线分线段成比例）.故选a.
考点：平行线分线段成比例。
2. （2016山东东营第8题）如图，在平面直角坐标系中，已知点a（―3，6）、b（―9，一3），以原点o为位似中心，相似比为，把△abo缩小，则点a的对应点a′的坐标是( )
a．（―1，2b．（―9，18）
c．（―9，18）或（9，―18） d．（―1，2）或（1，―2）
答案】d.考点：位似变换。
3. （2016湖南湘西州第17题）如图，在△abc中，de∥bc，db=2ad，△ade的面积为1，则四边形dbce的面积为（ ）
a．3 b．5 c．6 d．8
答案】d．考点：相似三角形的判定与性质．
4. （2016河北第15题）如图，△abc中，∠a=78°，ab=4，ac=6.将△abc沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
第15题图。
答案】c.解析】
试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项ｃ项不能判定两个三角形相似，故答案选c.
考点：相似三角形的判定。
5. （2016新疆生产建设兵团第7题）如图，在△abc中，d、e分别是ab、ac的中点，下列说法中不正确的是（ ）
a．de=bc b． c．△ade∽△abc d．s△ade：s△abc=1：2
答案】d.考点：相似三角形的判定及性质。
6. （2016湖北随州第7题）如图，d、e分别是△abc的边ab、bc上的点，且de∥ac，ae、cd相交于点o，若s△doe：s△coa=1：
25，则s△bde与s△cde的比是（ ）
a．1：3 b．1：4 c．1：5 d．1：25
答案】b.解析】
试题分析：由de∥ac可得△doe∽△coa，又s△doe：s△coa=1：
25，根据相似三角形的性质可得de:ac=be:bc=1:
5,所以be:ec=1:4,即s△bde与s△cde的比是1：
4，故答案选b．
考点：相似三角形的判定与性质．
7. （2016湖南湘西州第17题）如图，在△abc中，de∥bc，db=2ad，△ade的面积为1，则四边形dbce的面积为（ ）
a．3 b．5 c．6 d．8
答案】d．考点：相似三角形的判定与性质．
8. （2016湖南衡阳第16题）若△abc与△def相似且面积之比为25：16，则△abc与△def的周长之比为 ．
答案】5：4．
解析】试题分析：已知△abc与△def相似且面积之比为25：16，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，可得△abc与△def的相似比为5：
4；即可得△abc与△def的周长之比为5：4．
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