（出题人：唐建伟刘燕审题人：赵义廉赵小林）
1．（人教a版选修1－1，2－2第40页练习第3题）
已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线a b，交椭圆于a，b两点，是椭圆的左焦点．
1）求的周长；
2）如果ab不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？
变式1：设椭圆的两个焦点分别为f1、、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若△f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。
ab． c． d．
解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选d．
解二：∵△f1pf2为等腰直角三角形，∴.故选d．
变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点p在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为。
解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．
解二：设，由焦半径公式得的最大值为．
变式3：已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f的直线交椭圆于a、b两点，与共线．
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）设m为椭圆上任意一点，且，证明为定值．
解：（ⅰ设椭圆方程为，则直线ab的方程为，代入，化简得。
设a（），b），则。
由与共线，得。
又，即，所以，故离心率。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知，所以椭圆可化为。
设，由已知得。
在椭圆上，
即①由（ⅰ）知。
又，代入①得。
故为定值，定值为1.
2．（人教a版选修1－1，2－2第66页例4）
斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长．
变式1：如果，，…是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…f是抛物线的焦点，若，则___
解：根据抛物线的定义，可知（，2，……8），．
变式2：设f是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 ．
解：设，则，于是，即，由于，，故，又，故．
变式3：如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．
ⅰ）试证：；
ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．试证：．
证明：（ⅰ对任意固定的，因为焦点，所以可设直线的方程为，将它与抛物线方程联立，得，由一元二次方程根与系数的关系得．
ⅱ）对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率，故在处的切线方程为。
类似地，可求得在处的切线方程为， ②
由②减去①得，从而。
将③代入①并注意到得交点的坐标为。
由两点间距离公式，得。
.从而。现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，.
3．（人教a版选修1－1，2－4第76页复习参与题a组第10题）
已知的两个顶点a，b的坐标分别是（-5，0），（5，0），且ac，bc所在直线的斜率之积等于，试探求顶点c的轨迹。
变式1：已知动点a、b分别在x轴、y轴上，且满足|ab|=2，点p**段ab上，且设点p的轨迹方程为c。
1）求点p的轨迹方程c；
2）若t=2，点m、n是c上关于原点对称的两个动点（m、n不在坐标轴上），点q坐标为求△qmn的面积s的最大值。
解：（1）设。
（2）t=2时，
变式2：已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为。
1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围；
2）直线能否和圆相切？证明你的结论。
解：（1）由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为=＞，即 ＞即＞所以＞， 于是＞即＞，所以＜ 即＜＜
2）假设相切， 则，这与＜＜矛盾。
故直线不能与圆相切。
变式3：已知点p（4，4），圆c：与椭圆e：有一个公共点a（3，1），f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与圆c相切．
ⅰ）求m的值与椭圆e的方程；
ⅱ）设q为椭圆e上的一个动点，求的取值范围．
解：（ⅰ点a代入圆c方程，得．∵m＜3，∴m＝1．
圆c：．设直线pf1的斜率为k，则pf1：，即．
直线pf1与圆c相切，∴．
解得．当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．f1（－4，0），f2（4，0）．
2a＝af1＋af2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆e的方程为：． 2
ⅱ），设q（x，y），，即，而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．的取值范围是[－6，6]．
的取值范围是[－12，0]．
1．（人教a版选修1－1，2－4第77页复习参考题b组第2题）
如图，从椭圆上一点p向轴作垂线，垂足恰为左焦点，a是椭圆与轴正半轴的交点，b是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆的方程。
变式1：设椭圆的上顶点为，椭圆上两点在轴上的射影分别为左焦点和右焦点，直线的斜率为，过点且与垂直的直线与轴交于点，的外接圆为圆．
1)求椭圆的离心率；
2)直线与圆相交于两点，且，求椭圆方程；
3)设点在椭圆c内部，若椭圆c上的点到点n的最远距离不大于，求椭圆c的短轴长的取值范围．
解：（1）由条件可知， 因为，所以得：
2）由（1）可知，，所以，，从而。
半径为a，因为，所以，可得：m到直线距离为。
从而，求出，所以椭圆方程为：；
3）因为点n在椭圆内部，所以b>3
设椭圆上任意一点为，则。
由条件可以整理得：对任意恒成立，所以有：或者。
解之得： 2
变式2：若椭圆：和椭圆：满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比。
1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程。
2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于a、b两点（其中点a**段ob上），求的最大值和最小值。
解：（1）设所求的椭圆方程为，则有。
解得。所要求的椭圆方程为
2）①当射线与轴重合时， =
当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察a、b在第一象限的情形。
设其方程为（），设，
由解得 由解得
令则由知。 记，则在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最小值为。
变式3：已知分别是双曲线=l（a>0，b>0）的左、右焦点，p为双曲线上的一点，若 ,且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为。
（i）求椭圆的方程；
（ⅱ）设直线与椭圆交于a，b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求△aob面积的最大值．
解：设，不妨p在第一象限，则由已知得。
解得（舍去）。设椭圆离心率为
可设椭圆的方程为。
（ⅱ）当ab
②当ab与轴不垂直时，设直线ab的方程为，由已知得代入椭圆方程，整理得。
当且仅当时等号成立，此时。
③当 综上所述：，此时面积取最大值。
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