机器人避障问题。
摘要。本文研究的是机器人在平面区域运动的避障问题，在满足题目要求的条件下求出机器人从出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。
由于出发点到目标点之间有多条路径，首先先确定了选择路径的原则：（1）选择路径尽量靠近起始点与目标点两点的连线段；（2）机器人的转弯圆弧的圆心为行走过程中障碍物的顶点；（3）路径选择时尽量少转弯。为求所选路径长度作出如下准备：
（1）单个障碍物的路径长度求法；（2）两个障碍物同侧切线和异侧切线的中点求法；（3）判断碰撞方法。
求解问题一。段根据上述所讲的选择路径的原则选出2条路径，由单个障碍物的路径长度求法利用matlab软件计算出段最短路径。段存在多个障碍物，由选择路径的原则找出6条路径，根据两个障碍物同侧切线和异侧切线的中点求法计算出每条公切线的中点，再将每条路径按起始点到路径上第一个公切线中点、连续两个公切线中点、最后一个公切线中点到目标点的顺序分为多个单元，根据单个障碍物的最短路求法计算出每个单元的长度，利用matlab软件求解并求和，算出每条路径的长度，比较得出最短路径长。
段的最短路径与段的最短路径求法相似，段上存在圆形障碍物，此时转弯圆弧所在圆心不变半径增加10个单位，根据上述所讲的选择路径原则找到了5条路径，再按段的计算方法利用matlab软件求解得出段最短路径。由于机器人不能折线转弯，所以、、三点在回路上必须位于转弯圆弧上，圆心可由、、三点坐标进行平移处理得到，再按照的运算方法得出最短路径长。综上可得出各段的最短路径表如下：
求解问题二。因为机器人的转弯速度由转弯半径决定，半径越大转弯速度越大，改变转弯半径在增大路程的同时可能减少行走时间，将问题二分成两种情况进行求解：第一次种情况：
固定圆心半径变化，根据单一障碍物路径长度算法和速度与路程关系，建立时间关于半径的一元函数，以最小为目标函数以转弯半径为约束条件建立优化模型，例如以图形5的左上顶点为圆心建立模型，得到最短时间为94.21和半径为11.527；第二种情况：
圆心和半径都不断变化，根据单一障碍物路径长度算法和速度与路程关系，建立时间关于半径和圆心坐标的三元函数，以最小为目标函数以转弯半径和圆心坐标为约束条件建立优化模型，得到最短时间为92.4346、圆心坐标为（73.95，257.
64）和半径为11.427。
最后本文研究的是静态环境下，机器人避障问题，我们将模型进行改进，给出了动态环境下单一障碍物避障问题思考方法，并给出一般模型。
关键词：切线中点最短路径优化模型障碍物。
一问题重述。
下图是一个800×800的平面图，在原点o(0, 0)处有一个机器人，限定它只能在该平面场景范围内活动。下图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，图1
障碍物的数学描述如下表：
表1 障碍物的数学描述。
在图1的平面场景中，机器人位于障碍物外指定一点，要到达的目标点，需要满足题目要求如下：
1）机器人所走的线路有直线和圆弧组成，圆弧为转弯路径，不能折线转弯，半径最小为10个单位；
2）机器人运动过程中与障碍物的最短距离为10个单位；
3）机器人直线行走的最大速度为个单位/秒，机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径；
4）机器人从o(0, 0)出发，o→a、o→b、o→c和o→a→b→c→o的最短路径。
5）机器人从o (0, 0)出发，到达a的最短时间路径。
二基本假设。
1.假设机器人经过障碍物时绕障碍物的顶点行走。
2.机器人在行走时不会出现机械故障。
三符号说明。
机器人行走的最短路径；
机器人行走的圆弧长度；
圆的半径；点的横坐标（）；
点的纵坐标（）；
切线斜率；点到直线的距离；
障碍物5的左上顶点；
障碍物5的右下顶点；
段共切线中点（）；
段共切线中点（）；
段共切线中点（）；
行走时间；圆点坐标；
四问题分析。
通过对问题进行分析得知：机器人的运动路径由线段和圆弧组成，圆弧是机器人的转弯路径，转弯半径不小于10个单位，机器人在运动过程中与障碍物相距不小于10个单位。
根据如下原则选择路径：选择路径是尽量靠近起始点与目标点两点的连线段；机器人的转弯圆弧的圆心为行走过程中障碍物的顶点；路径选择时尽量少转弯。
根据上述原则，为求出出发点和目标点的最短路作出如下准备：
1）单个障碍物的路径长度求法。
在上图中已知起点坐标、圆心坐标、半径和目标点坐标，根据勾股定理和三角函数基本知识可求的点到点的最短路径。
2）两个障碍物同侧切线和异侧切线的中点求法。
在上图中已知两圆的圆心坐标和半径，根据几何学知识可以求的切线中点和的坐标。
3）问题一：段的最短路径，根据上述所讲的选择路径原则找到了2条路径，根据单个障碍物的路径长度求法可以求出段的最短路径；段的最短路径，根据上述所讲的选择路径原则，找到了6条路径，对于每一条路径先算出路径上所有公切线的中点，根据单个障碍物的路径长度求法分别算出起始点到路径上第一个切线中点、连续两个切线中点、最后一个切线中点到目标点的距离，并求和得到该路径的距离，比较得出最短路径；段的最短路径，段的最短路径与段的最短路径求法相似，不同的是在段上转弯圆弧的圆心为障碍物顶点，半径为10，而在段上存在圆形障碍物，此时转弯圆弧所在圆心不变半径增加10个单位，根据上述所讲的选择路径原则找到了5条路径，计算方法与段相同；段的最短路径，由于机器人不能折线转弯，所以、、三点在回路上必须位于转弯圆弧上，将向左平移10个单位作为所在圆弧的圆心，将向下平移10个单位作为所在圆弧的圆心，将点向右平移10个单位作为所在圆弧的圆心，根据上述所讲的选择路径原则，确定了段的路径，计算方法与段方法相同。
4）问题二：因为机器人的转弯速度由转弯半径决定，半径越大转弯速度越大，改变转弯半径在增大路程的同时可能减少行走时间，将问题二分成两种情况进行求解：（1）固定圆心半径不断变化，根据单一障碍物最短路径算法和速度路程关系，建立时间关于半径的一元函数，以最小为目标函数以转弯半径为约束条件建立优化模型，以图形5的左上顶点为圆心建立模型，得到最短时间和半径；（2）圆心和半径都不断变化，根据单一障碍物最短路径算法和速度路程关系，建立时间关于半径和圆心坐标的三元函数，以最小为目标函数以转弯半径和圆心坐标为约束条件建立优化模型，得到最短时间、圆心坐标和半径。
五模型建立与求解。
5.1确定可行域。
为了使机器人顺利完成行走，不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，我们可以在图2的平面场景中做出奇迹人的安全行走区域如下图：
图2 安全行走。
注：在上述图形中，以每个障碍物的顶点为圆心，10个单位为半径分别做圆。然后把各圆的边界相连，则在这个区域外的都是安全可行域。
由上图得出安全行走区域后，可以在安全区域内分别确定机器人从o(0, 0)出发，o→a、o→b、o→c和o→a→b→c→o的安全行走路径。
5.2模型准备。
5.2.1 单一障碍物路径长度算法。
图3 点圆连线图。
上图3中的点和点的坐标为已知坐标，根据两点间的距离公式得1）
由公式（1）可计算得出的长度，同理可以得出的长度。
由直角三角形的勾股定理得：
由公式（2）可计算得出的长度：
同理可以得出的长度。
由三角形的余弦定理得：
由公式（5）可计算得出：
结合三角函数的定理可得出：
根据平面圆周角为可得出。
根据弧长公式可计算得出的弧长：
通过上述得出的和的长度与上的长度之和为机器人在段所走的最短路径：
5.2.2 异侧相切切线中点坐标。
图4 异侧相切结构。
由上图4可知点和点的坐标，结合中点坐标公式，即可算出两圆异面相切的切线中点的坐标：
5.2.3 同侧相切切线中点坐标。
图5同侧相切切线结构。
在上图5中已知点和点的坐标，有中点坐标公式可算出点的坐标，由上图和已知最小半径可得点与点的距离为10个单位，在已知坐标的情况下为了求出的坐标，我们需算出过两圆心的直线的斜率，由于已知点和点的坐标，即可根据这两点的坐标确定过这两点的直线的斜率。
通过计算（计算过程见附录一）可得出的坐标为：
由于两圆心与两切点构成的封闭图形为矩形，所以切点坐标为：
当切线中点在圆心连线下放时为减，上方时为加。
5.2.4 确定是否碰撞。
图6由图6可知，为了方便的坐标计算，将的坐标进行简单处理，由的横坐标不变纵坐标向下移动10个单位，即可得出点的坐标，又已知点的坐标，根据两点确定一条直线就可算出线段的表达式，再由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为：
因为与障碍物的最短距离为10个单位，为了使其不会碰撞则需满足：
5.3 问题一：确定最短路径。
5.3.1段最短路径。
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