2024年上海高考理科数学试卷对高考复习的启示。
201805 上海市嘉定区安亭高级中学彭朴
2024年普通高等学校招生考试上海数学理科试卷对教材所涉及的知识点覆盖面较大，着重考查高中数学的基本知识、基本方法和技能，突出能力立意，强调通性通法，注重数学应用意识的考查。同时，注重了对学生的数学**和创新能力的考查。试卷鼓励学生理解数学概念的本质，提高分析问题、解决问题的能力，与前3年相比，试题稳中有变，变中有新，难度适宜，对于在高考复习中克服“题海战术”，强调学生理解数学本质，培养学生创新精神与实践能力有较强的指导意义。
一、对试卷的简要分析。
1. 立足对基础知识和基本技能的考查，主干知识重点考查。
今年的理科试题立足对基础知识和基本技能的考查，试卷中第1-11题，15-16题，19-20，22（1）(2)都属于基础题，在平时训练中经常可见到类似试题，这些试题不偏、不怪、不繁，起点低、坡度小，学生比较容易入手，在对基础知识的考查中，重点考查了高中数学主干知识，如：集合与不等式、函数、三角、数列、立体几何、解析几何。这些试题巧设障碍，注重创新，平中见奇，有利于甄别不同层次的学生。
如：第20题综合考查了函数的基本性质、反函数与不等式，通过一个试题达到全面考查函数性质的目的。
2．.注重考查数学应用意识和创新意识。
去年，上海高考数学试卷解答题中没有应用题，今年第21题是一道应用题，与2024年上海卷应用题相似，不过难度比2024年大，此题考查了函数、不等式、三角等，考查学生的阅读信息、分析信息的能力，以及合情推理能力、运算能力，第（1）问比较简单，第（2）问需要先建立函数关系式，在利用基本不等式求解，除了考查学生应用数学的意识，试卷中还出现了不少新题，如题，这些试题有一定的难度，对学生的阅读理解能力、逻辑思维能力、运算能力、**能力要求较高，这可能是造成考生感到今年数学试卷难的原因，与前2年相比，这些创新题入口比较窄，方法比较独特，如第13题，上海考生没学微积分，只能将曲边图形的面积转化为三角形的面积来做；第14题，需要将四面体分割成2个四面体，还需要用到逻辑推理论证，经过计算，才能算出最值；第23题考查了学生的学习新概念、运用新概念的能力和推理论证能力，推理论证是学生的薄弱点，学生看到此题后，感到无从下手，心情焦虑，有的考生直接放弃了，由于试卷中既有应用题，又有不少创新试题，造成学生普遍感觉试题难，靠“题海战术”，机械重复训练将无法适应。
3．.注重考查对数学的本质理解和数学思想方法。
数学学习强调对数概念的本质理解和数学思想方法的体验，在今年的理科数学试卷中，第9题考查了对函数奇偶性的理解；第12题考查了向量运算的本质——向量的分解及函数思想；第9题、第20题考查了函数与方程的思想方法；第11题考查了分类讨论的思想方法；第题考查了数形结合的思想方法。
二、对今后高考复习的启示。
1．仔细研读《考试手册》，研究近几年高考试卷，把握命题方向和特点。
考试手册》是高三数学复习教学的一份纲领性文件，具有导向性，需要师生花时间认真研读，《考试手册》明确规定了考查学生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，分析问题和解决问题的能力，以及数学**与创新能力。这些目标在今年考卷中体现得淋漓尽致，如第23题考查学生能否正确而简明地表述推理过程，能否合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性；能否自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质等），并能初步运用。因此，在复习中要认真研读考试手册，深刻领会高中数学各个知识板块与知识点的具体目标要求，并且要弄清楚数学知识的各个领域在高考中所占比例及试题的难易程度。
除了研读《考试手册》，还需要研究近几年高考试卷，把握试卷命题的特点，掌握试卷考查内容的侧重点，考试的难度等，通过分析比较、抓准细微变化，才能使得平时教学能够控制好深度、广度、难度、区分度。如：前2年没考过二项式定理，今年考查了；去年没考过应用题，今年考查了；对随机变量、方差的考查难度，今年明显比前3年难。
2．制定符合学情的复习计划。
近几年高考的目标要求变化不大，但每一届新高三学生的认知结构、学习习惯等都不一样，在制定复习计划时，需要充分考虑学生的情况，与学生沟通每一阶段的复习目标、复习的措施。一般高三数学复习至少有2轮复习。第一轮复习通常会精选一本教辅资料，以知识点为主线，以低、中档题为主体，对所有的基础知识、基本技能、基本方法进行全方位到边到角的复习，组织学生系统整理知识，优化知识结构，注意将知识点连成线，拉成面（章节知识块），构成体（知识框架），注意解题格式规范化，基础知识体系化，基本方法类型化，每章一次测试，主干章节测试次数可能会更多，为了巩固前面复习成果，可以采取滚动复习，逐步提高综合解题能力；第二轮复习以专题为主线，可以是数学思想方法专题，也可以是知识板块专题，进行综合深化。
第二轮复习可以根据学生的学情，备课组编写讲义稿或校本教材，2024年初，我校高三数学备课组编写了一本校本教材《第二轮复习助学提纲》并投入使用，受到师生的普遍欢迎。除了编好讲义稿或校本教材，还需要精选一些试卷让学生进行模拟训练、限时训练、专题训练等，目的在于提高学生的应试水平和策略。经过2轮复习后，在临近高考前，主要是引导学生自由复习，回归基础，进行查漏补缺，调整应考状态，教师主要对学生辅导答疑和心理疏导，以及考前提醒。
3．重视教材和练习册的复习，夯实基础，发展能力。
从今年高考卷的分析不难发现，试卷中的大部分试题都是直接源于教材和练习册，有的是改编而成的，其目的在于引导师生重视基础，夯实基础，切实抓好“双基”，巩固“双基”，完善“双基”，只有在这个基础上，才能提炼方法，形成数学能力，感悟数学思想。今年高考卷中的第18题，随机变量的方差公式在课本中介绍过，直接用教材上的公式做起来比较麻烦，在拓展练习册的p47第15题，给出了随机变量方差的另外一个公式的求证，如果采用这个公式做，将简化运算过程，比较容易选出正确答案。
当然，重视教材和练习册的复习不等于局限于做教材和练习册上的例题和习题，不是要强记题型、死背结论，学生解题**现的错误，往往可以归结为对基本概念、基本方法没有掌握好，引导学生复习教材和练习册，有助于帮助学生把握概念、公式等的来龙去脉，掌握一些基础题和中档题的解题方法。
在平时的复习过程中，还需要对教材和练习册上的例习题进行变式训练，帮助学生全面、准确地把握概念，提升对方法的领悟，做到“解一道题，会一套题，解决一种题型，掌握一两个规律” ，达到事半功倍的效果，如：高二教材上一道例题：
已知椭圆的焦点为和椭圆上的动点的p，且为钝角，求p的横坐标的取值范围。
对此题进行变式：可以引出以下问题：
变式1：已知椭圆的焦点为和椭圆上的动点的p，且为锐角（直角），求p的横坐标的取值范围。
变式2：已知双曲线的焦点为和双曲线上的动点的p，且为钝角，求p的横坐标的取值范围。
变式3：已知椭圆的焦点为，椭圆上存在点p，使为钝角，求a的取值范围。
4．重视通性通法，淡化特殊技巧，加强运算能力的训练，减少对计算器的依赖。
所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。例如，解析几何中很多问题需要将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、根与系数的关系、两点之间的距离公式、中点公式、斜率公式等解决，这些问题的解决，体现了解析几何的通性通法。又如二次函数在闭区间上求最值的一般方法：
配方、作图、分类讨论。在复习的过程中要引导学生对这些普遍性的规律不断地进行概括总结，不断地在具体解题中细心体会，从题目中“提炼”反映数学本质的东西，淡化特殊技巧。当然，淡化并不意味着放弃，适当掌握一些特殊技巧对于做填空、选择题还是很有必要的，因为填空题、选择题只要求结果对就可以了，不需要呈现解题过程，如：
今年高考第14题，如果取特殊值ab=bd=ac=cd=a，则很容易获得结果；第23题猜测，i=1, 2, …n.也可以获得2分。
除了加强通性通法的教学，还需要加强运算能力的训练，造成学生解题失误的一个重要原因是运算不过关，对计算器依赖过强，运算量稍大的综合题，学生往往心理有些畏惧，不能坚持做下去。今年高考试题弱化了对计算器的依赖，这也启发我们在高三复习教学中，要加强学生运算能力的训练，运算能力不是独立存在和发展的，而是与观察力、记忆力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力等一般能力相互渗透、相互支撑形成一种综合性的数学能力。在高三复习教学中，要提高运算能力，首先必须牢固地掌握概念、公式、法则，其次要掌握运算层次、技巧，培养迅速运算的能力，教师在设计训练题时，要尽可能弱化对计算器的依赖，计算器的主要功能是数值计算，不能因为有了计算器而弱化数学的学习。
如：在推导组合数的两个性质时，不要把性质直接抛给学生，而是要求学生借助公式，进行推理论证，从而提高学生的运算、推理论证能力；另外，在设计试题时，适当将数字用字母替代，也可以避免学生直接用计算器。如今年第1题：
计算现在一些计算器可以直接算出结果，如果将其改为：已知：：且是纯虚数，则学生仅用计算器是行不通的，需要运算才能获得正确结果。
5．抓好常规、发挥备课组的集体力量。
高三数学复习离不开选题、解题、阅卷、试卷分析、作业设计、作业批改、课后辅导与讲评等常规工作。如何落实好常规工作，一个人力量是毕竟有限，可以发挥备课组的集体力量，备课组成员可以一起研究、讨论，精讲例题，精选习题，避免“题海战术”，共同面对复习中遇到的各种问题，制定相应策略。比如试卷的讲评，在讲评试卷前，每位教师亲自做题，批阅试卷，交流试卷的考查的内容、难度、特点以及每题的得分情况，共同分析每道题的错误原因，讨论评讲的重点和方式，研究纠错的对策，制定下阶段查漏补缺的措施等。
备课组如果抓好了复习教学的各个环节，将会取得良好的复习效果。
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