闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试。
数学试卷（理科）
满分150分，时间120分钟）
考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．用列举法将方程的解集表示为。
2．若复数满足（其中为虚数单位），则。
3．双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为。
4．若，且，则。
5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则。
6．已知等比数列满足，则。
7. 设二项式的展开式的二项式系数的和为，各项系数的和为，且，则的值为。
8．是从集合中随机抽取的一个元素，记随机变量，则的数学期望。
9．给出条件：①，函数，对任意，能使成立的条件的序号是。
10．已知数列满足，则使不等式成立的所有正整数的集合为。
11．斜率为的直线与焦点在轴上的椭圆交于不同的两点、.若点、在轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为。
12．函数在区间内无零点，则实数的范围是。
13．如图，已知点，且正方形内接于：，、分别为边、的中点。当正方形绕圆心旋转时，的取值范围为。
14．已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．如果，那么下列不等式成立的是。
a). b). c). d).
16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有。
(a) 14种b) 48种c)72种d) 120种。
17．函数的定义域为，值域为，则的最大值是( )
abcd) .
18． 如图，已知直线平面，垂足为，在。
中，，点是边上的动点。
该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，2).则的最大值为。
abcd).
三。解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，已知圆锥的底面半径为，点q为半圆弧的中点，点为母线的中点．若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
设三角形的内角所对的边长分别是，且．若不是钝角三角形，求：(1) 角的范围；(2)的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．
已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．
1) 求曲线的方程；
2)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
3)求面积的最大值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．
各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
1）求数列的通项公式；
2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
3）如果存在，使不等式成立，求实数的范围．
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试。
数学试卷参***与评分标准（理科）
一。 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．4； 8．； 9．④；
二。 选择题 15． b； 16． d； 17．b； 18． c．
三。 解答题
19．[解] 取oa的中点m,连接pm,又点p为母线的中点。
所以，故为与所成的角2分。
在中4分。由点q为半圆弧的中点知，在中，
故，所以8分。
所以，……10分。
12分。20．[解] （1）因为2分。
由得4分。26分。
）……10分。
当时， 当时12分。
所以14分。
21．[解](1)由条件得，所以2分。
6分。（2）因为，所以恒成立8分。
恒成立10分。
设，则： 恒成立，由恒成立得。
时取等号12分。
恒成立得（时取等号）
所以14分。
22．[解]（1）设两动圆的公共点为q，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分。
（2）证法一：由题意可知：，设，当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点6分。
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
把②代入①有：……8分，④，因为，所以有，把③④代入整理：
（有公因式m-1）继续化简得：
或（舍），综合斜率不存在的情况，直线恒过定点10分。
证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；
取特殊直线，则直线的方程为，解方程组得点，同理得点，此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……2分。
下边证明点满足条件。
当的斜率不存在时，直线方程为：，点的坐标为，满足条件8分。
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
把②代入①得： ，所以。
10分。3）面积==
由第(2)小题的③④代入，整理得12分。
因在椭圆内部，所以，可设，14分。
(时取到最大值)．
所以面积的最大值为16分。
23． [解] （1）当时，由得 ……1分。
当时，由，得。
因数列的各项均为正数，所以3分。
所以数列是首相与公差均为等差数列。
所以数列的通项公式为4分。
2）数列的通项公式为5分。
当时，数列共有。
项，其所有项的和为。
8分。当时，数列共有。
项，其所有项的和为。
11分。3）由得。
13分。记。
由。递减（或15分。
得， 所以实数的范围为，即18分。
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