2008高考试卷分类汇编04---数列。
一、选择题。
1．（北京理6）已知数列对任意的满足，且，那么等于a． b． c． d．
解：由已知。
2．（北京文7）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于a．30b．45 c．90 d．186
解：由， 所以。
3．(福建理3)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为。
a.63b.64c.127d.128
解：由及｛an｝是公比为正数得公比，所以。
4．（福建文3）设是等差数列，若，则数列前8项的和为。
a.128b.80 c.64 d.56
解：因为是等差数列，
5．（广东理2）记等差数列的前项和为，若，，则（ d ）
a．16 b．24 c．36 d．48
解：，，故。
6．（广东文4）记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
a、2 b、3 c、6 d、7
解：,选b.
7：（海南宁夏理4文8）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
a． b． c． d．
解： ∴选ｃ
8．（江西理5文5）在数列中，，，则
a． bc． d．
解：，，选a
9．（全国ⅰ理5）已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
a．138 b．135 c．95 d．23
解：c. 由；
10．（全国ⅰ文7）已知等比数列满足，,则。
(a)64b)81c)128d)243
解：， 11．（陕西理4文4）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于a．64 b．100 c．110 d．120
解：设公差为，则由已知得。
12．（天津文4）若等差数列的前5项和，且，则。
a）12 （b）13 （c）14 （d）15
解：，所以，选b．
13．（上海理14文14） 若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是（ ）a．1b．2cd．
解：由。 14．（四川理7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ( d )
解1： ∵等比数列中∴当公比为1时，，
当公比为时，， 从而淘汰（ａ）故选d；
解2：∵等比数列中∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故选d；
15．（浙江理6）已知是等比数列，，则=( c )
a）16b）16
cd）（）解： 由，解得数列仍是等比数列：
其首项是公比为所以，
16．（浙江文4）已知是等比数列，,则公比q=
(ab)-2c)2d)
解：由，解得。
17．(重庆文1)已知为等差数列，,则等于
(a)4b)5c)6d)7
解：由得：，故选c。
二、填空题。
18．（安徽理14）在数列在中，，，其中为常数，则的值是
解： ∵从而。
a=2，，则。
19．（安徽文15） 在数列在中，，，其中为。
常数，则 解：∵∴从而。
a=2，，则。
20．（北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树。
种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为第2008棵树种植点的坐标应为 ．
解： 数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；
数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….
因此，第6棵树种在，第2008棵树种在。
21．（海南宁夏文13）已知为等差数列，，，则。
解：由于为等差数列，故∴
22．（湖北理14）已知函数，等差数列的公差为。若，则。
解：依题意，所以。
23．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为。
解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
24．（湖北理15）观察下列等式：
可以推测，当≥2（）时。
解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以。
26．（四川理16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为。
解：∵等差数列的前项和为，且
即 ∴∴，∴故的最大值为，应填。
27．（四川文16）设数列中，，则通项。
解：∵ 将以上各式相加得：
故应填；28．（天津理15）已知数列中，，则。
解： 所以。
29．(重庆理14)设是等差数列的前项和，, 则
解： ，30.（四川延考文15）设等差数列的前项和为，且．若，则。
解：，取特殊值。
令，所以。31．（四川延考理14）设等差数列的前项和为，且。若，则 。
解：，取特殊值。
令，所以。三、解答题。
32．（安徽理21）．（本小题满分13分）
设数列满足为实数。
ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
ⅱ）设，证明：;
ⅲ）设，证明：
解 (1) 必要性 ： 又，即。
充分性 ：设，对用数学归纳法证明。
当时，.假设。
则，且。由数学归纳法知对所有成立。
(2) 设，当时，，结论成立。
当时， 由（1）知，所以且
3) 设，当时，，结论成立。
当时，由（2）知。
33．（安徽文21）．（本小题满分12分）
设数列满足其中为实数，且。
ⅰ）求数列的通项公式。
ⅱ）设，,求数列的前项和；
ⅲ）若对任意成立，证明。
解： (1) 方法一。
当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。
数列的通项公式为。
方法二。由题设得：当时，
时，也满足上式。
数列的通项公式为。
(2) 由（1）得。
3) 由（1）知。
若，则。由对任意成立，知。下面证，用反证法。
方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大。
不能对恒成立，导致矛盾。。
方法二：假设，，
即恒成立 （＊
为常数， （式对不能恒成立，导致矛盾，
34．（北京理20）（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列。
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；
又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．
ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
解：（ⅰ证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而。
又，所以。故．
ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则．
当存在，使得时，若记数列为，则．
所以．从而对于任意给定的数列，由。
可知．又由（ⅱ）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，
35．（北京文20）（本小题共13分）
数列满足，（）是常数．
ⅰ）当时，求及的值；
ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．
解：（ⅰ由于，且．
所以当时，得，故．
从而．ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，
得，，．若存在，使为等差数列，则，即，解得．于是，．
这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．
ⅲ）记，根据题意可知，且，即。
且，这时总存在，满足：当时，；
当时，．所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．因此“存在，当时总有”
的充分必要条件是：为偶数，记，则满足．
故的取值范围是．
36．（福建文20）（本小题满分12分）
已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nn*）在函数y=x2+1的图象上。
ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
解：.解法一：
ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列。
故an=1+(a-1)×1=n.
ⅱ)由（ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+·b2-b1）+b1
2n-1+2n-2+··2+1
=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
-5·2n+4·2n
-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：
ⅰ）同解法一。
ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
2n（bn+1-2n+1）
2n（bn+2n-2n+1）
2n（bn-2n）
2n（b1-2）
-2n〈0，所以bn-bn+2
37．（广东理21）（本小题满分12分）
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