理科数学。一、选择题：
1.设集合，，则（ ）
a． b． c． d．
2.为虚数单位，则（ ）
ab． -1 c． d．1
3.已知，，，则（ ）
a． b． c． d．
4.执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是（ ）
a． 120 b．720 c. 1440 d．5040
5.如图，在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
ab． cd．
6.如果函数的图象关于点成中心对称，那么的最小值为（ ）
a． b． cd．
7.已知数列满足，则（ ）
a． b． cd．
8.已知关于的函数，若点是区域内的随机点，则函数在上有零点的概率为（ ）
a． b． cd．
9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；在以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
a． 0.35 b． 0.25 c. 0.30 d．0.20
10.已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）
a． b． c. 2 d．
11.若，则在中，正数的个数是（ ）
a． 143 b． 286 c. 1731 d．2000
12.定义在上的函数满足，，，且当时，有，则（ ）
ab． cd．
二、填空题。
13.已知向量与的夹角为，且，，则。
14.的展开式中常数项为用数字作答）
15.已知是等差数列的前项和，若，，则。
16.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为。
三、解答题
17.的面积是30，内角所对边长分别为，.
1）求；2）若，求的值。
18.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，
1）求证：平面；
2）当的长为何值时，二面角的大小为。
19.如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择10月1日至10月13日中的某一天到达该市，并停留2天。
1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
2）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列和数学期望；
3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
20.已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直。
1）求椭圆的方程；
2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值。
21.已知函数，.
1）若，求函数在点处的切线方程；
2）若恰有一个解，求的值；
3）若恒成立，求实数的取值范围。
请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲。
已知圆和圆相交于两点，过点圆的切线交于圆于点，连接并延长交圆于点，直线交圆于点。
1）当点与点不重合时，（如图1），证明：；
2）当点与点重合时，（如图2），若，求圆的直径长。
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。
已知直线过点，斜率为，直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为，求：（1）点的坐标；
2）线段的长。
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
已知函数，其中实数。
1）当时，求不等式的解集；
2）若不等式的解集为，求。
试卷答案。一、选择题。
cccad dbbca cc
二、填空题。
三、解答题。
17、解析：由，得。
又，所以4分。
又因为，所以12分。
1）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．
2）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得平面，从而．所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
又因为，所以，从而．
于是． 因为，所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
设，则，，，
ⅰ）证明：， 所以，，从而，所以平面．因为平面，所以平面平面．
故平面．ⅱ）解：因为，所以，，从而。
解得．所以，．
设与平面垂直，则，解得．又因为平面，所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
19、解析：设表示事件“此人于10月日到达该市”。
根据题意，，且。 2分。
1）设为事件“此人到达当日空气重度污染”，则。
所以2分。2）由题意可知，的所有可能取值为，且。
4分。6分。
8分。所以的分布列为：
故的数学期望。 10分。
3）从10月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 12分。
20.解：（1）依题意，由已知得，则，由已知易得，所以，所以椭圆的方程为。 4分。
2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，则为定值。 6分。
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，依题意知，直线与椭圆必相交于两点，设，则，又， 8分。
所以。综上，得为定值212分。
21、解：（1）因为，所以。又，所以。
所以函数在点处的切线方程为。 2分。
2）因为，令，得。
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故。①当时，即时，最大值点唯一，符合题意；
②当时，即时，恒成立，不符合题意；
③当时，即时，；
又（易证当时，），则有两个零点，不符合题意。
综上，当恰有一个解时7分。
3）若恒成立，只需研究的情况。
由，得，令，得。
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
10分。由（2）知在时，，此时显然成立。
当时，，只需，即。
综上可得，实数的取值范围为12分。
22、解：（1）连接，在的延长线上取点，如图①所示。
因为是的切线，切点为，所以， 1分。
因为，所以，因为是内接四边形的外角，所以，所以，所以， 3分。
因为，所以5分。
2）当点与点重合时，直线与相切。
在的延长线上取点，在的延长线上取点，连接，如图②所示，由线切线定理知：，又，所以，所以与分别为和的直径8分。
由切割线定理知：，而，所以，所以的直径为10分。
23、解：（1）因为直线过点，斜率为，设直线的倾斜角为，则，所以直线的参数方程的标准形式为：（为参数）
因为直线和抛物线相交，所以将直线的参数方程代入抛物线方程中，整理得。
由根与系数的关系得，因为中点所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程的标准形式中，得即。
24、解：（ⅰ当时，可化为，或。
由此可得或。
故不等式的解集为5分。
ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）
由，得，此不等式化等价于或。
解之得或。因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故。…10分。
法二：（从等价转化角度考虑）
由，得，此不等式化等价于，即为不等式组，解得。
因为，所以不等式组的解集为，由题设可得，故…10分。
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