2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷。
高三数学（理科）
一、填空题（满分56分）
1、已知集合，集合，则
答案】 解析】，则，所以。
2、若复数（为虚数单位），则
答案】解析】
3、已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小是
答案】解析】由题意知斜率，所以倾斜角为
4、某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数。若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生的编号应该是
答案】39解析】各组所抽取学生的编号组成一个等差数列，首项为7，公差为16。所以第三组中抽取的学生编号为：
5、在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为
答案】解析】由，所以
6、设函数，则不等式的解为
答案】 解析】易知，所以。
7、直线与曲线（为参数，）的交点坐标是
答案】解析】由已知，则，，所以交点坐标分别为
8、甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率是
答案】 解析】“至多一人击中目标”等价于“两个都未中，只有1人击中”
所以 9、矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第。
列各元素之和为，则2011届长宁二模理科12题）
答案】 解析】，所以。
所以。10、如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为
答案】解析】平面与平面所成的二面角即为“平面与。
平面所成的二面角”，。
11、执行如图所示的程序框图，输出的结果为，二项式
的展开式中项的系数为，则常数
答案】 解析】因为。则周期为3。计数2013次，被3整除，所以输出的结果为3，即。，令。则。
12、设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域是
答案】解析】设，则。因为值域为，则值域也为，则的值域是
13、所在平面上一点满足（，为常数），若的面积为6，则的面积为
答案】12解析】令的中点为，则，即。
与平行。所以的面积为12。
14、对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角。
使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”。曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是
答案】解析】当与圆相切时，则，则“确界角”的大小。
是。二、选择题（满分20分）
15、下列不等式中，与不等式同解的是（）
a. b. c. d.
答案】d.16、设为两个随机事件，如果为互斥事件，那么( )
a.是必然事件 b.是必然事件 c.与一定为互斥事件 d.与一定不为互斥事件。
答案】a解析】
17、在极坐标系中，与曲线关于直线对称。
的曲线的极坐标方程是（ ）
a. b. c. d.
答案】c解析】设曲线上的点，其关于直线对称的点，代入，得到，或者。
18、已知函数，各项均不相等的数列满足。令。
给出下列三个命题：
1）存在不少于3项的数列，使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立。
其中真命题的序号是（）
a.（1）（2） b.（1）（3） c.（2）（3） d.（1）（2）（3）
答案】d解析】易知在内单调递增且为奇函数。
则（1）正确；对于（2），因为，则，所以，所以②
由①②得对恒成立。
对于（3），如果；
如果（这条性质易证）。所以对恒成立。
三、解答题（满分74分）
19、（12分，第1小题6分，第2小题6分）
如图，在中，，斜边，是的中点。现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且。
1）求该圆锥的全面积；
2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
解析】（1）由已知得：，，所以。
圆锥的全面积
2）解法1：取中点，连接。
则或其补角为所求异面直线与所成角。
在中， 在中，
所以，即。解法2：以分别为轴建系。
20、（14分，第1小题7分，第2小题7分）
一个随机变量的概率分布律如下：
其中为锐角的三个内角。
1）求的值；
2）若，，求数学期望的取值范围。
解析】（1）由题意知，则（舍）
又为锐角，则。
2）由，得，则，即。
则 由为锐角三角形，得。
则，得 21、（14分，第1小题6分，第2小题8分）
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点时梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线于梯形下底的两个焊接点为。已知梯形的高是40厘米，两点间的距离为40厘米。
1）求横梁的长度；
2）求梯形外框的用料长度。
注：细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确。
到1厘米）解析】（1）如图，以为原点，梯形的上底所在直线。
为轴，建立直角坐标系。
设梯形的下底与轴交于点，抛物线的方程为。
由题意得，代入(*)得。
则抛物线方程为。
取，代入得，即。
所以 答：横梁的长度约为
2）由题意，得梯形腰的中点时梯形的腰与抛物线的。
唯一公共点。
设，则，则，所以。得，，则，，，所以梯形周长为。
答：制作梯形外框的用料长度约为
22、（16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数，
1）求函数的零点；
2）若直线（为常数）与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：；
3）求函数的最小值。
解析】（1）由，则函数的零点为；
2）设，，，
由，则。再由，则。
则中点与中点重合，即。
3）由题设。
当且仅当时，等号成立。
所以函数的最小值为1
23、（18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于一组向量，，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”。
1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
2）若，向量组，，，是否存在“向量”？给出结论并说明理由；
3）已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，。
设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值。
解析】（1）由题意得：，则，解得。
2）①当时，则，则；
当时，则，则。
由①②知，或。
将相关向量的图示作出（如右图）
由的几何意义可以知道：
的终点应该在对应的有向线段的。
中垂线的异于起点的一侧。
在图示中，分别是与对应。
有向线段的中垂线。
显然，只有满足这个条件。下面证明是向量组，，，的“向量”
当时，，则。
关于的增函数），则。
当时，，则。
其中关于的增函数），，所以，则。
综上所述，是向量组，，，的“向量”。
3）由题意知：，即。
同理， 将上述三式相加得：，即。
所以，即。设，由，，则。
设，则依题意得，得。故。所以
当且仅当时等号成了。故。
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