四川大学期末考试试卷（a）及解答。
2008-2009年度第二学期2008级理工科本科生。
一、 单项选择题。
1．设事件与相互独立，且，则（）.
2．设随机变量的密度函数为，则（）.
3．设的分布函数为，令，则的分布函数为（）.
4．设是独立同分布的随机变量序列，均服从参数为的指数分布，令，则（）.
5．设为来自总体的样本，记，则在这三个的无偏估计中，（）最有效。
无法判断。二、 填空题。
1．一个袋子中有个红球，个白球（球的形状，大小都相同），从中任取个球，则至少取得一个白球的概率是（）.
2．设随机变量，由切比雪夫不等式，应有（）.
3．设的二维正态分布，记，则（）分布。
4．设，已知，则（）.
5．设总体，为来自的样本，记，则或分布。
三、 解答题。
1．有甲乙两箱同类型的产品，其中甲箱中有件**，件次品，乙箱中有件**，件次品。 今从甲箱中任意取出件产品混入乙箱中，然后再从乙箱中任取件产品。 （1）求从乙箱中任取的这件产品是次品的概率；（2）已知从乙箱中取得的产品是次品，求从甲箱中取得的产品是次品的概率。
解答：设表事件“从甲箱中取出的产品为次品”， 则为一完备事件组； 表事件“从乙箱中取出的产品为次品”；有题意有。
所求概率由全概率公式得。
所求概率由贝叶斯公式得。
2.设，记，求的密度函数。
解答：因，故当时，的分布函数为，此时，的密度函数为。
综上所述有的密度函数为。
3.设。 （1）从总体中抽取容量为的样本，求样本均值与之差的绝对值小于的概率；（2）欲使样本均值与之差的绝对值小于的概率不小于，样本容量至少应该取多少？
附正态分布表：
解答： 由题意有，故所求概率为。
由题意有且，则，从而有。
故至少取。4．设二维随机变量有联合密度函数，其中区域由轴，直线围成。
1）求的值；
2）求边缘密度函数；
3）求条件密度函数；
4）判定与是否独立？
解答：如图，，由密度函数的性质有。
从而；由知联合密度函数为，故边缘密度函数为。
由知当时，由知当时，，所以与不独立。
5．设一枚质地不均匀的硬币正面出现的概率为。 （1）将这枚硬币独立地重复
抛掷次，求至少有次正面出现的概率；（2）将这枚硬币独立地重复抛掷次，用中心极限定理计算正面出现次数至多次的概率。 （正态分布表见第3题）
解答：设为次独立重复抛掷中正面出现的次数，则，所求概率为。
设为次独立重复抛掷中正面出现的次数，则，由中心极限定理，近似地有，于是所求概率为。
6．某医生测试了次慢性中毒者的脉搏（单位：次/分），得到样本均值为，标准差为，设人的脉搏服从正态分布。 （1）求慢性中毒者平均脉搏的置信区间（置信限精确到小数点后位）；（2）设正常人的平均脉搏为次/分，问中毒者与正常人的脉搏有无显著差异？
附分布分位点。
解答：设人的脉搏，此处均未知。
因总体方差，于是总体均值(即慢性中毒者的平均脉搏)的置信区间为。
由题意，待检假设为：
因总体方差未知，故用检验法。
当成立时，；对给定的，查表得，从而拒绝域为；
代入观测值计算得。
故应拒绝，认为中毒者与正常人的脉搏有显著差异。
7.设总体有密度函数，其中未知，是来自总体的样本观测值。
（1）证明：求的矩估计量；
（2）用讨论法求的极大似然估计量；
（3）（此问3分）证明：用估计是有偏的。
解答：因。故，用代替得的矩估计为。
其中。显然可见为一严格单增函数，故似然方程无解。 因。
故，所以在当取得最大值，所以的极大。
似然估计值为，极大似然估计量为。
因且相互独立且有相同。
的分布函数，故的分布函数为，从而其密度函数为。
因而有。所以是的有偏估计。
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