武汉科技大学。
2012-2013-2线性代数期末试卷(本科b)解答与参考评分标准。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设、是阶方阵，下列等式正确的是（ d ）.
ab.；cd..
2.关于阶方阵可逆的充要条件，下列结论不正确的是（ c ）.
ab.；c.可表示成一系列初等矩阵之和； d.可表示成一系列初等矩阵之积。
3. 若行列式，则行列式=（ b ）.
a. 0bc.; d..
4．已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组的两个不同的解， 为任意常数，则方程组的通解为（ d ）.
abcd..
5.阶方阵相似于对角阵的充分必要条件是有个（ c ）a. 互不相同的特征值； b. 互不相同的特征向量；
c. 线性无关的特征向量； d. 两两正交的特征向量。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 设为阶方阵，且，则。
7. 设为矩阵，为矩阵，且＝1，，则 8 ;
8. 方程组有非零解，则＝__
9. 若线性无关，而线性相关，则向量组的最大无关组为。
10. 若是矩阵的特征向量，则是的特征向量。
三、解答题题（每小题10分，共60分）
11.计算行列式。
解6分。10分。
12. 设，且，求。
解4分。可逆6分。
故10分。13. 求矩阵的秩。
解8分。10分。
14. 求线性方程组的通解。
解：对其增广矩阵作初等变换可得：
6分。所以方程组的通解为：
其中为任意常数10分。
15. 设，求。
解7分。故10分。
16. 设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为，求矩阵。
解：因为，故可对角化，且所对应的特征向量线性无关。
显然，令4分。7分。故。
10分。四、证明题（每小题5分，共10分）17. 设方阵有一个特征值为，证明：方阵有一个特征值为4。
证明2分。故的特征值为3分。
所以方阵有一个特征值5分。
18. 设维单位坐标向量组可由向量组线性表示，证明线性无关。
证明： 1分。
3分。4分。
线性无关5分。
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