机器人障碍问题。
摘要。本文研究了有若干障碍物的平面场景中，机器人避障行走的最短路径以及最短时间路径的问题。
针对问题一，首先给出简单证明了两个对称点绕过圆形障碍物的最短路径为两条与圆形障碍物相切的直线，加上两切点间的劣弧。然后分了四种情况，分别给出了不同直线与圆相切时，根据各已知点坐标，求相应切点、直行路径及劣弧长度的方法。然后在满足机器人从定点出发绕过障碍物，距离障碍物至少超过10个单位，不能折线转弯绕过障碍物的条件下，以前面的证明为依据，将机器人行走路径设计为由直线和圆弧组成。
针对不同的起点和终点，将总路径分解为上述四种情况，利用matlab6.5.1，分别求出相应的切点及各转弯圆的劣弧长，最后比较得到相对较短的行走路径。
并根据机器人在不同路径上的速度的不同，求出避障前进的最短路径时所需要的行走时间。具体如下：
的最短路径为471.0375个单位，所需的时间为96.0177秒。
的最短路径为812.7029个单位，所需的时间为170.5132秒。
的最短路径为：1090.8个单位，所需的时间为222.9373秒。
的最短路径为：3137.8个单位，所需的时间为652秒。
针对问题二，要求求出机器人从出发，到达的最短时间路径。因为机器人行走路径为直线时的速度为定值，弧线行走的速度与弧所在的圆半径有关，由此得到行走时间与圆弧半径的关系式，利用高等数学的极值定理条件，估算出11.5052个单位时从所需时间最短，为95.
1328秒。
该模型简单、便于理解，理论性较强。另外图形的使用，使问题更加清晰。该模型还可用于求解设计最优路线问题。
关键词最短路径圆弧半径最短时间切点。
一问题重述。
在一个800×800的平面场景图，在原点o(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。平面场景中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。
在平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法。
完成行走。场景中有四个目标点，，，具体标出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。问题如下：
1）机器人从出发，求出，，和的最短路径。
2）机器人从出发，到达的最短时间路径。
二模型假设。
1）机器人在行走过程中没有故障发生。
2）机器人在转弯时不会超过最大转弯时速。
3）机器人可以看作质点处理。
4）机器人在直线段行走和在圆弧中行走均保持稳定速度。
（5）机器人不可沿平面场景的边界行走。
三符号说明。
机器人出发点。
机器人转弯时的圆弧半径。
转弯圆弧的圆心坐标（、…
直线与圆弧相切时的切线斜率。
路线总长度。
各路径总时间。
路线中直线与圆弧的切点（……
路线中直线与圆弧的切点（……
路线中直线与圆弧的切点（……
路线中直线与圆弧切点（……
转弯时经过圆弧所用时间。
问题中需另用字母，计算过程中有详细说明。
四问题分析。
4.1 问题一的分析。
为了求出机器人从定点出发绕过障碍物，按照机器人行走路径由直线和圆弧组成，且不能折线转弯绕过障碍物到达目标点，可先给出不同转弯方式中的最短路径，然后根据不同的起点和终点，设计出相应的行走路径。利用matlab6.5.
1编程计算比较得出最短路径及转弯处每段弧的起点、终点坐标、圆弧的圆心坐标，机器人行走的总距离及总时间。
4.2 问题二的分析。
机器人行走的时候由直线和圆弧组成，由于直线行走时速度为定值，为求得机器人行走的最短时间路径，就要尽量保证机器人在转弯时时间最少，可在问题一基础上求解从最短时间路径，由此可建立一个时间关于转弯半径的函数，通过求解函数的最小值得出总的最短时间。
五模型建立。
5.1 问题一。
5.1.1路线的确定。
根据图形，可设计出机器人从区域中一点出发到达另一点的多种避障路线，其中存在一种行走路线使得机器人行走路径最短。为了方便讨论，先确定两点间避障路线的长度与弧之间的关系。
设，为对称两定点，绕过以坐标原点为圆心的圆形障碍物，其中、位置不超过圆形障碍物的最高点，求从的最短路径。
图（1）绕障碍物最短路径示意图。
平面图形中两点间直线距离最短，要绕过障碍物必须选用折线。依图形中障碍物中心为原点坐标，线段的中点为轴建立直角坐标系，设点坐标为，任取轴上足够高一点，显然折线能绕过障碍物不与障碍物相交。此时存在以为圆心，适当长为半径的圆与和同时相切，此时折线长度为，显然折线长度随着的长度减小而减小。
将点往方向移动，到刚好切与圆形障碍物，显然最小。在中，所以。利用直角三角形及圆弧的计算公式可得折线长度大于长度，从而为到得最短距离。
5.1.2切点的计算
机器人在行走的过程中路线是由直线及与直线相切的圆弧组成，根据相切的不同情况来计算切点。
1） 一般直线函数与圆弧相切，如图（2）
设过坐标原点上方引出的直线方程为。
圆心坐标为，半径为，圆的方程为
联立直线与圆的方程，根据直线与圆相切，有唯一交点即方程组有唯一解，使得判别式为，从而求出直线的斜率（舍去不合题意的值）。将求得的回代入直线方程，利用matlab6.5.
1编程计算出切点坐标。
图（2）一般直线与圆相切示意图。
2）一般直线同时与两个半径相等的圆弧相切，如图（3）
a）当直线与两圆的切点在两圆心连线的同侧时，设圆心坐标为，则圆的方程为，直线方程为；显然直线平行于，即，根据到直线的距离为半径可得（舍去不合题意的值），将与回代到联立的方程中计算出切点坐标。
图（3）一般直线两等圆相切同侧示意图。
b）当直线与两相等圆相切且切点在两圆心连线的两侧时，如图（4）。设圆心坐标为，切线与两圆心连线的夹角为（弧度），则圆的方程为，直线方程为，并将其联立。首先可利用两圆的圆心坐标，求出斜率，再根据两点距离公式可得到长度，接着通过勾股定理算出，继而由夹角公式，便可以求出切线的斜率。
显然有圆心与圆心的中点过该直线，将坐标代入直线方程即可以求出，将与回代到联立的方程组中便计算出切点坐标。
图（4）一般直线与两等圆切两侧示意图。
当直线与两个半径不等的圆弧相切，且切点位于同一侧。设圆心坐标为，切线交圆于、交圆于，切线延长线与两圆心连线延长线的夹角为（弧度），则圆的方程为，直线方程为，并将其联立；令的连线延长交切线的延长线于，利用相似三角形可得：；由的长，可以求出。
然后利用勾股定理得：,可以求出，进而求出，再利用夹角公式，可以求出切线的斜率（舍去不合题意的值）,然后用圆心到直线的距离为圆半径长求出来，将和回代到联立的方程组中计算出切点坐标。
图（5）一般直线与两等圆切两侧的示意图。
5.1.3确定最短路经。
由于两点间最短路径为直线，在满足机器人不能折线转弯的条件下，依据5.1.1的证明，显然最短路径由圆弧及与圆弧相切的直线段组成。
从点到点，依据图形可设计出两种路径：及。
图（6）行进路线。
通过比较两种路线的总长度，从而得出最短路径。机器人在行走的时候为了不与障碍物发生碰撞，至少要保持10个单位的距离，由前知过障碍物的折线长度与圆的关系，取圆半径为10各单位。圆分别是以正方形5左上顶点和右下顶点为圆心，半径为10的圆，从，向圆，引切线，切点分别为、、、下面来计算切点的位置，及计算出路径的长度。
由，与圆相切关系，可利用5.1.2中（1）一般函数与圆相切关系及算法计算出切点、的坐标。
由与圆，圆的相切关系，同样可利用5.1.2中（1）一般函数与圆相切关系及算法计算出、的坐标。
利用matlab6.5.1编程（见附录程序一）可得切点坐标如表（一）
表（一）各切点坐标。
下面计算圆在两切点、之间的圆弧长度：
图（7）计算切点间圆弧长度示意图。
设（弧度），利用三点坐标可得的三边长分别为：，
利用余弦定理得，从而求出；
弧长的长度为（其中为弧度）
将坐标值利用matlab6.5.1可计算的长度为9.051个单位。
三点可利用两点间距离可求个单位，个单位，从而求出第一种路线的长度=471.0375个单位，其中直线段总长度为461.9865个单位，弧线段长度为9.
051单位，当=10个单位时，有转弯速度=2.5单位/秒，而恒有直线速度=5单位/秒，从而可求出的总时间=96.0177秒。
同理可得第二种路线总长度=498.4258个单位，其中直线段总长度为459.8958个单位，弧线段总长度为11.1390个单位，当个单位时，总时间秒。
所以，经比较得到从选择第一种路线的路径长度最短=471.0375 个单位，总时间为=96.0177秒。
5.1.4确定的最短路径。
与前面的路径选择的方法相似，依图形确定出不同的路径，分别计算，选择出最短路径。
图（8）行进路线。
要确定从比较短的行进路线，在计算直线与圆弧的切点时同样存在5.1.2中各种求解切点的情况，利用matlab6.5.1求解，最后得出各切点坐标如表（二）：
表（二）各切点坐标。
第一种路线总长度及总时间：
总长度个单位，其中直线段总长度为772.8429个单位，弧线段总长度为39.86个单位，当个单位时，总时间秒。
第二种路线总长度及总时间：
总长度个单位，其中直线段总长度为913.2210个单位，弧线段总长度为26.883个单位，当个单位时，总时间秒。
第三种路线总长度及总时间：
总长度： +876.3096个单位，其中直线段总长度为838.9376个单位，弧线段总长度为37.3720个单位，当个单位时，总时间秒。
所以经比较第一种路线的总路程最短为，总时间为秒。
5.1.5确定最短路径。
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