2010年普通高等学校招生全国统一考试。
数学（文）（北京卷）
第ⅰ卷（选择题共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
集合，则=
(a) b) c) (d)
在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为a,b.若c为线段ab的中点，则点c对应的复数是。
（a）4+8i (b)8+2i （c）2+4id)4+i
从中随机选取一个数为a，从中随机选取一个数为b，则b>a的概率是。
（a） (b) （cd)
若a,b是非零向量，且，，则函数是。
（a）一次函数且是奇函数 （b）一次函数但不是奇函数。
（c）二次函数且是偶函数 （d）二次函数但不是偶函数。
5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的。
正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体。
的俯视图为：
6)给定函数①，②期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是。
a）①②b）②③c）③④d）①④
7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为。
ab）cd）
8）如图，正方体的棱长为2，动点e、f在棱上。点q是cd的中点，动点。
p在棱ad上，若ef=1，dp=x， e=y(x,y大于零)，则三棱锥p-efq的体积：
a）与x，y都有关；
b）与x，y都无关；
c）与x有关，与y无关；
d）与y有关，与x无关；
第ⅱ卷（共110分）
一、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9）已知函数右图表示的是给。
定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，处应填写处应填写。
10）在中。若，则a
11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m
12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高。
单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a若要从身高在。
120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的。
学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动。
则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数。
应为。13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为渐近线方程为。
14）如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是。
则的最小正周期为。
在其两个相邻零点间的图像与x轴。
所围区域的面积为。
说明：“正方形pabc沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点a为中心顺时针旋转，当顶点b落在x轴上时，再以顶点b为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形pabc可以沿着x轴负方向滚动。
二、 解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
已知函数。ⅰ）求的值；
ⅱ）求的最大值和最小值。
16）（本小题共13分）
已知为等差数列，且，。
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式。
17）（本小题共13分）
如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直。
ef//ac，ab=,ce=ef=1
ⅰ）求证：af//平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bdf;
18) （本小题共14分）
设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
19）（本小题共14分）
已知椭圆c的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线椭圆c交与不同的两点m，n，以线段为直径作圆p,圆心为p。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）若圆p与x轴相切，求圆心p的坐标；
ⅲ）设q（x，y）是圆p上的动点，当变化时，求y的最大值。
20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）当n=5时，设，求，；
ⅱ）证明：，且；
ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数。
绝密使用完毕前。
2010年普通高等学校招生全国统一考试。
数学（文）（北京卷）
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
b ⑵ c ⑶ da
⑸ c ⑹ b ⑺ ac
二、 提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
三、 解答题（本大题共6小题，共80分）
（共13分）解：（ⅰ
因为，所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。
（共13分）
解：（ⅰ设等差数列的公差。
因为。所以解得。
所以。（ⅱ）设等比数列的公比为。
因为。所以即=3
所以的前项和公式为。
（共13分）
证明：（ⅰ设ac于bd交于点g。因为ef∥ag,且ef=1，ag=ag=1
所以四边形agef为平行四边形。
所以af∥eg
因为eg平面bde,af平面bde,所以af∥平面bde
连接fg。因为ef∥cg,ef=cg=1,且ce=1,所以平行四边形cefg为菱形。所以cf⊥eg.
因为四边形abcd为正方形，所以bd⊥ac.又因为平面acef⊥平面abcd,且平面acef∩平面abcd=ac,所以bd⊥平面acef.所以cf⊥bd.
又bd∩eg=g,所以cf⊥平面bde.
18)(共14分)
解：由得。因为的两个根分别为1,4，所以。
ⅰ）当时，又由（*）式得。
解得。又因为曲线过原点，所以。
故。ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞内无极值点”等价于“在（-∞内恒成立”。
由（*）式得。又。解得。
即的取值范围。
19）（共14分）
解：（ⅰ因为，且，所以。
所以椭圆c的方程为。
ⅱ）由题意知。
由得。所以圆p的半径为。
解得所以点p的坐标是（0，）
ⅲ）由（ⅱ）知，圆p的方程。因为点在圆p上。所以。
设，则。当，即，且，取最大值2.
20)(共13分)
ⅰ）解： =1,0,1,0,1）
ⅱ)证明：设。
因为，所以。
从而。由题意知。
当时， 当时，
所以。ⅲ)证明：设。
记由（ⅱ）可知。
所以中1的个数为k,中1的个数为。
设是使成立的的个数。则。
由此可知，三个数不可能都是奇数。
即三个数中至少有一个是偶数。
2019北京卷
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