2024年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题。
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1. 全集，集合，，则。
2. 已知复数满足，(是虚数单位)，则复数的共轭复数。
3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是。
4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：
支)为。
5. 如图程序运行的结果是。
6. 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是。
7. 给出下列命题：
1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号是。
8. 已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则。
9. 设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3， 则实数b的值为。
10. 若则的最小值为。
11. 在rt△abc中，ca＝cb＝2，m，n是斜边ab上的两个动点，且mn＝，则·的取值范围为。
12. 在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x－1)2＋y2＝4，p为圆c上一点．若存在一个定圆m，过p作圆m的两条切线pa，pb，切点分别为a，b，当p在圆c上运动时，使得∠apb恒为60，则圆m的方程为。
13．三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为。
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。
15．(本小题满分14分)在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，.
1）求；2）若△abc的外接圆直径为1,求的取值范围。
16．(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点。
1）当四面体的体积为时，求的值；
2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：
17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段。设，观光路线总长为。
１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（２）求观光路线总长的最大值。
18．（本小题满分16分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为。
1）求该椭圆的标准方程；
2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由。
19．（本小题满分16分）已知函数。
1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。
20．（本小题满分16分）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．
1）若m＝5，＝，求的值；
2）若b＝λa(λ∈n*，λ2)，如果存在n (n∈n*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；
3）求证：an＞bn(n∈n*，n≤m)．
第ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括a、b、c、d四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
a．（选修４－１几何证明选讲）如图，⊙o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为⊙o上一点，ae=ac，求证：∠pde=∠poc．
b．（选修４－２矩阵与变换）若二阶矩阵满足：.
ⅰ）求二阶矩阵；
ⅱ）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程。
c．（选修４－４坐标系与参数方程）已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上．
ⅰ)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
ⅱ)当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标．
d．（选修４－５不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。
22．（本小题满分10分）从集合中任取三个元素构成子集。
1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；
2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻，，求随机变量的分布率及其数学期望。
23．（本小题满分10分）设整数3，集合p，a，b是p的两个非空子集．记an为所有满足a中的最大数小于b中的最小数的集合对(a，b)的个数．
（1）求a3；
（2）求an．
2024年高考模拟试卷(4)参***。
南通市数学学科基地命题。
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题。
7．①②8． ；9． ；10．.【解析】，当且仅当时，取等号；
11． .解析】 以ca、cb所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设m(x,y)，则x＋y＝2，y＝2－x，即m(x, 2－x)，又mn＝，所以点n坐标为(x＋1，2－x－1)，即n(x＋1，1－x)，于是＝x(x＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x2－2x＋2＝(0≤x≤1)，所以x＝时取最小值，x＝0或1时取最大值2，因此的取值范围为； 12．.【解析】∵当p在圆c上运动时∠apb恒为60°，∴圆m与圆c一定是同心圆，∴可设圆m的方程为(x－1)2＋y2＝r2.
当点p坐标是(3，0)时，设直线ab与x轴的交点为h，则mh＋hp＝2，mh＝，ab＝2×，所以＋2××＝2，解得r＝1，所以所求圆m的方程为(x－1)2＋y2＝1；
13．.【解析】设，依题意知，∴，故，，由及点q在其上，可设q点的坐标为。 由q为的一个极值点得，显然，∴，存在最大值，数形结合可求得，其最小值为。
14．92．【解析】易知d=0，成立．
当d>0时，
又 ，所以公差d的所有可能取值之和为92．
二、解答题。
15． (1)因为，即，
所以， 即，
得。所以，或(不成立).
即， 得。2)法一：由。
因。故， ，
法二： ，16．（1）设，设作于，且为交线，则，又。在中。
解得。2）取中点，连结，则。
则， 而为平面内的两条相交直线，而，．
【注】第（2）问，也可以连结ed，ed交cp于q，用平几知识证明q为ed中点，进而证明oq∥be，从而获证。
17．(1)由题意知，，，因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，所以，所以， .
2)记，则，
令，得， 列表。
所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，
即。答：观光路线总长的最大值为千米．
18．（1）设，其中，由，得。
从而故。从而，由得，因此。
所以，故。因此，所求椭圆的标准方程为。
2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，，
由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或。
当时，重合，此时题设要求的圆不存在。
当时，过分别与，垂直的直线的交点即为圆心，设。
由得而故。圆的半径。
综上，存在满足条件的圆，其方程为。
19.（1）由得，因在区间上不是单调函数。
所以在上最大值大于0，最小值小于0,.
2)由，得，且等号不能同时取，，即。
恒成立，即。
令，求导得，当时，，从而。
在上是增函数，.
3)由条件，假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且，是以为直角顶点的直角三角形，是否存在等价于方程在且是否有解。
当时，方程为，化简，此方程无解；
当时，方程为，即。
设，则，显然，当时，，即在上为增函数。
的值域为，即，当时，方程总有解。
对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。
20．（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d＝，q＝．
a3＝a＋3d＝，b3＝aq3
因为＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或．
（2）因为λa＝a＋(m＋1)d，所以d＝a，从而得an＝a＋a×n．
因为λa＝a×qm＋1，所以q＝λ，从而得bn＝a×λ．
因为an－5＝bn，所以a＋×a＝a×λ．
因为a＞0，所以1
因为λ，m，n∈n*，所以1＋为有理数．
要使（*）成立，则λ必须为有理数．
因为n≤m，所以n＜m＋1．
若λ＝2，则λ为无理数，不满足条件．
同理，λ＝3不满足条件。
当λ＝4时，4＝2．要使2为有理数，则必须为整数．
又因为n≤m，所以仅有2n＝m＋1满足条件．
所以1＋＝2，从而解得n＝15，m＝29．
综上，λ最小值为4，此时m为29．
3)证法一：设cn＞0，sn为数列的前n项的和．
先证：若为递增数列，则{}为递增数列．
证明：当n∈n*时，＜＝bn＋1．
因为sn＋1＝sn＋bn＋1＞sn＋＝sn，所以＜，即数列{}为递增数列．
同理可证，若为递减数列，则{}为递减数列．
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