一、解答下列各题。
1. 设且，试求．
解由==，令a=
则 a的特征值为，；对应的特征向量为，令p= 则有： =
于是。解原式=+
3. 证明： ，
解因为当时，，即。
故。上式对从1到求和，得。
因为 所以 于是 和
即证 另解因为
于是一方面有：
另一方面有：
综合①②有：
4．已知， 计算。解 =
其实： =再利用洛比达法则计算也可。
5. 已知是椭球面的外侧，计算。
解由高斯公式原式=
由于=+2+
0+ 其中。
利用对称性原式=
二、已知函数在上连续，在内可导，且，证明对于任何正整数，至少存在一点，使得．
证对任何正整数，令，则函数在上连续，在内可导，且，；由中值定理，至少存在一点，； 显然不等于零，即只有亦即
三、设有椭圆抛物面。
和平面。1）试给出和相交的充要条件．
2）当与相交时，求它们所围成空间形体的体积和被截下部分的面积．
解 （1）与相交，当且仅当方程。
有无穷多个解．将第一个方程代入第二个方程，整理得。
该方程有无穷多组解，当且仅当。
或，此即为与相交的充要条件．
2）由（1）知在平面上的投影区域为。
其中．所求的体积为。
作坐标变换。
于是。被截下部分的面积为。
四、证明：
解由于。而。
有 于是 =
五、证明：（1）；
证（1）由。令得 ．
于是 即证
六、讨论三个平面。
的位置关系，画出图形，并说明理由。
解设，，为三个平面的法向量；，，
记， 则且；
（1）如果，则三个平面重合；
（2）如果，则三个平面平行，且又分两种情况：
当两两线性无关时，三个平面平行且互异；
当有两个线性相关时，三个平面平行但其中二平面重合；
（3）如果，则三个平面组成的方程组的导出组的解空间是一维空间，从而三个平面交于一条直线，且又分两种情况：
当两两线性无关时，三个平面互异且交于一条直线；
当有两个线性相关时，有二个平面重合且与第三平面交于一条直线；
4）如果，则共面且有两个向量不共线，又分两种情况：
当两两线性无关（不共线）时，三平面两两相交于不同直线；
当中有两个线性相关时，则两平面平行（不重合）且与第三平面分别交于一条直线；
（5）如果，则三个平面组成的方程组有唯一解，从而三平面互异且交于一点。
七、设函数在上连续，，是的表面，是在平面的投影区域，是的边界曲线已知当时，恒有：
求的表达式．
解由于==其中是的上半球面。是的底面。
于是。即两边求导，得。
令得即。解得或者其中c为任意常数。
命题教师院系负责人签字
2024年大学生数学 非数学类 竞赛培训模拟试卷A答案
一 解答下列各题。1.设且，试求 解由 令a 则 a的特征值为，对应的特征向量为，令p 则有 于是。解原式 3.证明 解因为当时，即。故。上式对从1到求和，得。因为 所以 于是 和 即证 另解因为 于是一方面有 另一方面有 综合 有 4 已知，计算。解 其实 再利用洛比达法则计算也可。5.已知是椭球...
2024年大学生数学 非数学类 竞赛培训模拟试卷B
一 解答下列各题。1.计算 2.已知是球面，计算 3.设函数在上有定义，在任意闭区间上可积，且对任意实数，满足。已知，求 二 证明下列各题。1.设函数在内三阶可导，且和在内有界，证明和在内有界 2.设在内，函数连续，单调减少，证明 三 设函数具有二阶连续偏导数，试求常数的值，使得变换可把方程简化为 ...
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