成都理工大学2014—2015学年。
第一学期《线性代数》考试试题。
一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1.在4阶行列式中，取负号且包含因子和的项是。
2.已知，设，则。
3.设矩阵，则。
4.已知4元线性方程组，矩阵的秩，是的三个解，且，，则的通解为。
5.设阶实对称矩阵的特征值分别为则当时，矩阵为正定矩阵。
二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）6.二次型的秩为（ ）
a、0b、1c、2d、3。
7.设n阶矩阵a与b相似，则结论“若a可逆则b一定可逆； a相似于对角矩阵时，b必相似于对角矩阵；若是a的特征向量，则也是b的特征向量”中成立的是（ ）
a、； bc、； d、。
8.设方程组，其中，则下列说法中正确的是（ ）a、方程组无解b、方程组有唯一解；
c、方程组有无穷多解d、方程组解的情况与的值有关。
9.设向量组()，则必有（ ）
a、若向量组()线性无关，则向量组()线性无关；
b、若向量组()线性相关，则向量组()线性相关；
c、若秩()=秩()，则向量组()线性相关；
d、若秩()=秩()，则向量组()线性无关。
是n阶矩阵，且，则（ ）
a、a不可逆，ea也不可逆b、a不可逆，e+a也不可逆；
c、和都不可逆； d、和都可逆。
三、解答题（共5小题，满分50分）
11. （本题满分16分）
求一个正交变换，化二次型为标准形。
12. （本题满分6分）
计算阶行列式。
13. （本题满分8分）
求矩阵的秩；当a可逆时，求出a的逆矩阵。
14. （本题满分10分）
设向量，，，
1)求向量组的极大线性无关组；
2)问可否能被线性表示，若能，写出表达式。
15. （本题满分10分）
已知矩阵，。
1)计算行列式；
2)当实数为何值时，方程组有无穷多解？并求其通解。
四、证明题（每小题10分，共2小题，满分20分）16.（本题满分10分）
若阶矩阵的前个列向量线性相关，后个列向量线性无关，。
1)证明：方程组有无穷多解；
2)求方程组的通解。
17.（本题满分10分）
设矩阵，。1)求a的特征值与特征向量；
2)将用a的一组线性无关的特征向量线性表示；
3)求 (为正整数)。
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