2011年高考数学模拟试题。
第ⅰ卷50分）
一：选择题。（本大题共10小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集u＝r，a＝，b＝则（cua）∩b＝（
a．（1b．[1，＋∞
c．（－0）∪（1d．（－0）∪[1，＋∞
解析】：a=，b=，所以，所以（cua）∩b＝（－0）∪[1，＋∞
2．＝-则实数a等于（ ）
a、－1 b、 1 c、－ d、
解析：故a=.
3．若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
3） 其中正确的命题有（ ）
a、0个b、1个c、2个d、3个。
解析】：本题考查线面平行与垂直关系的论证及空间想象能力。
1）错；空间想象可知两平面可平行或垂直；（2）真；（3）真；可空间想象也可推理论证命题的正确性，故选c.
4.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的。
（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件。
（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件。
解析】若已知，所以有。
是递增灵敏列；
反之，若数列是递增数列，则公比，所以。
是递增数列的充分必要条件。
5.已知椭圆c．：以抛物线的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆c．的离心率为。
abcd．
解析：由已知得：,故选（a）
6.已知d是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域d内的弧长为。
abcd解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选b。
7．地面上有四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率限制，卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息，某日四个机构之间发送了三次信息后，都获得了卫星发回的同一条信息，那么是接收到该信息后互相联系的方式共有。
a．16种 b.17种 c.34种 d.48种。
解析：本题分类求解。
第一类：直接发送给三处，有种。
第二类：直接发送给中的两处，再由其中一处通知第四处，有种。
第三类：直接发送给中的一处，再由该处通知另两处，有种。
共有种不同的方式，故选a.
8，设的最大值是 （
a,8b,6c,5d,4
解析】：建立坐标系（如图）则n(2,1),设m(x,y),则。
2x+y，表示的平面区域是正方形abcd.
由线性规划知识得：当m点与c点重合时最大，最大值是6，故选（b）
9．设m，n，且m·n的最大值是5，则的值是（ ）
abc. 1d.3
解析】m·n=，设则。
则m·n=时，m·n取最大值。
依题意得，(m·n) =
10．设a＝，其中e为自然对数的底数（e＝2.71828……）则a，b，c的大小关系是（ ）
a、a>b>cb、c>a>bc 、a>c>bd、b>a>c
解析：观察a，b，c的规律，可知a＝，所以想到构造函数f（x）＝，利用导数研究该函数的单调性。
令，得0e；所以函数f（x）在（0，e）上是单调递增，在（e，＋上是单调递减。继而判断出a>b且a>c；但是还需要比较f（2）与f（的大小关系。由于，而，从而a>c>b,故选择c.
第（ii）卷（100分）
二、填空题（本大题共5小题。每题5共25分）
11. 若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为。
解析：由已知得，z为纯虚数，故。
12. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是cm3.
解析：由三视图知：原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，故。
13.已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是。
解析：抛物线经过点说明抛物线的焦点在轴的正半轴上，于是可设抛物线方程为，把点代入可得。
故双曲线的一个焦点为，解方程组得：，.
14．在某次数学考试中，学号为的学生的考试成绩为，且，则满足的概率为___用分数表示结果）
解析：由题意知4名学生的成绩可能各不相同，也可能有2名同学的成绩相同，其余同学成绩不同，所以，符合条件的排法种数为：种；而所有排法种数为，所以满足条件的概率为：
15．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是。
解析】： 三、解答题。
16.（12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从泉州五中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
ⅱ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．
解：（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75
2）设表示所取3人中有个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件，则
3）的可能取值为
分布列为。17．（12分） 在中，分别为角、的对边．已知，，且与的夹角为。
1) 求角c；
2) 若，的面积，求的值。
解：(1) 依题知得即。
也就是，又，所以。
2)，且，所以
又，且，所以， 即
18，（12分）已知数列中，，,
ⅰ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
ⅱ）记，数列的前项和为，求使的的最小值．
解：（i ，故数列是公比为的等比数列
又满足上式，
ii)由（i）知
由得：即。的最小值是1006
19：（本小题满分12分）、如图所示，在直三棱柱中，，，是棱的中点．
ⅰ）证明： 平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
解析：∵，三棱柱为直三棱柱，． 平面。
以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
ⅰ），即，．，平面。
ⅱ）设是平面的法向量，由得。
取，则是平面的一个法向量。
又是平面的一个法向量。
且与二面角的大小相等．
由cos<>=
故二面角的余弦值为．
20(本题满分13分)
如图，已知椭圆的离心率。
为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点。
为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线。
的顶点是该椭圆的焦点，设p为该双曲线上异于项点。
的任一点，直线和与椭圆的交点分别为a、
b和c、d.
（ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明：；
（ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
解析】（ⅰ由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。
（ii）设点。
所以在双曲线上，所以有所以。
（iii）假设存在常数，使得|ab|+|cd|=|ab|·|cd|恒成立，则由（ii）知。
所以设直线ab的方程为。
则直线cd的方程为。
由方程组。设。
所以，同理可得。
又因为|ab|+|cd|=|ab|·|cd|，所以有。
21．（本小题满分14分）
对于三次函数，定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有。
实数解，则称点为函数的“拐点”；
2）设为常数，若定义在r上的函数对于定义域内的一切实数x，都有。
成立，则函数的图像关于点对称。
己知，请回答下列问题：
（i）求函数）的“拐点”a的坐标；
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