2014华约自主招生数学模拟试题（满分150分）
第一部分：填空题（共5小题每题10分）
1. 若，则。
2. 在复数集c内，方程的解为。
3. 设，求数x的个位数字。
4. 设，则集合a中被7除余2且不能被57整除的数的个数为。
5. 设p是抛物线上的动点，点a的坐标为，点m在直线pa上，且分所成的比为2:1,则点m的轨迹方程是。
第二部分：解答题（共5小题每题20分）
1设集合，．若，求实数的取值范围。
2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了p条建议。已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议。
求证该校的班级数不多于个。
3. 设平面向量，.若存在实数和角，使向量， ,且。
)求函数的关系式； (令，求函数的极值。
4. 已知双曲线的两个焦点分别为， ,其中又是抛物线的焦点，点a,b在双曲线上。
)求点的轨迹方程是否存在直线与点的轨迹有且只。
有两个公共点？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由。
5. 已知a，b均为正整数，且求证：对一切，均为整数。
参***。一、 选择题。
1. 由，得，有，即。
则，原式=.
2. 设， ,代入原方程整理得。
有，解得或，所以或。
3. 直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数。
解】令。由二项式定理知，对任意正整数n.
为整数，且个位数字为零。
因此，是个位数字为零的整数。再对y估值，因为， 且，所以故x的个位数字为9.
评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题。
4. 解：被除余的数可写为。 由≤≤.知≤≤.
又若某个使能被57整除，则可设=57n. 即。
即应为7的倍数。 设代入，得。 ∴m=0,1.于是所求的个数为．
5. 设点p,m,有， ,得，而，于是得点m的轨迹方程是。
二、 解答题。
1. 解：，．
当时，，由得；
当时，，由得；
当时，，与不符．
综上所述，
2. 证明：假设该校共有个班级，他们的建议分别组成集合。
这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有a（所有p条建议所组成的集合）的个子集，所以。
3. 解：()由， ,得，即，得。
)由，得。求导得，令，得，当， ,为增函数；当时， ,为减函数；
当时， ,为增函数。
所以当，即时，有极大值；当，即时，有极小。
值。4．解：()设则。
去掉绝对值号有两种情况，分别得的轨迹。
方程为和()
)直线：,:d(1,4),椭圆q:
若过点或d,由，d两点既在直线上，又在椭圆q上，但不在的轨迹上，知与的轨迹只有一个公共点，不合题意。
若不过，d两点().则与必有一个公共点e,且点e不在椭圆q上，所以要使与的轨迹有且只有两个公共点，必须使与q有且只有一个公共点，把代入椭圆的方程并整理得。
由，得。5. 【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理，复数需要，然后分析an与复数的关系。
证明】因为。
显然的虚部，由于。
所以从而的虚部。
因为为整数，根据二项式定理，的虚部当然也为整数，所以对一切，为整数。
评述】把为与复数联系在一起是本题的关键。
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