一、单项选择题(每题3分,共18分)
1、如果,,则(d ).
a b c d
2、如果,,则15( a ).
a 整除 b 不整除 c 等于 d不一定。
3、在整数中正素数的个数( c ).
a 有1个 b 有限多 c 无限多 d 不一定。
4、如果,是任意整数,则a
a b c d
5、如果( a ),则不定方程有解。
a b c d
6、整数5874192能被( b )整除。
a 3 b 3与9 c 9 d 3或9
二、填空题(每题3分,共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是( 唯一的 ).
2、同余式有解的充分必要条件是( (a,m)整除b ).
3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( [a/b]).
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( (a,p)=1 ).
5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.
三、计算题(每题8分,共32分)
1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程。
3、解同余式。
4、求,其中563是素数。 (8分)
四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)
1、证明对于任意整数,数是整数。
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。
试卷1答案。
一、单项选择题(每题3分,共18分)
1、d. 2、a 3、c 4、a 5、a 6、b
二、填空题(每题3分,共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).
2、同余式有解的充分必要条件是().
3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( )
4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).
5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.
三、计算题(每题8分,共32分)
1、 求[136,221,391]=?8分)
解 [136,221,391]
[1768,3914分)
406644分)
2、求解不定方程。(8分)
解:因为(9,21)=3,,所以有解2分)
化简得1分)
考虑,有2分)
所以原方程的特解为1分)
因此,所求的解是2分)
3、解同余式。 (8分)
解因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为31分)
又同余式等价于,即1分)
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,32分)
即定理4.1中的1分)
因此同余式的3个解为。
1分)1分)
1分)4、求,其中563是素数。 (8分)
解把看成jacobi符号,我们有。
3分2分)2分)
即429是563的平方剩余1分)
四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)
1、证明对于任意整数,数是整数。 (10分)
证明因为3分)
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -2分)
并且(2,3)=11分)
所以从和有,--3分)
即是整数1分)
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 (11分)
证明因为3分)
所以只需证明。
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1,7,1,19,7.
对于模5, 的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余,
所以7分)所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除1分)
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。 (11分。
证明设是正数,并且3分)
如果。1分)
则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余。
所以只能与0,1同余。
所以。4分)
而这与的假设不符2分)
即定理的结论成立1分)
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