高三第二次模拟考试理科数学试题。
考试时间：120分钟总分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．已知集合，，那么等于。
ab． c． d．
2．已知样本m的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本m的数据分别加上4后得到样本n的数据，那么两样本m，n的数字特征对应相同的是。
a．平均数b．众数c．标准差d．中位数。
3．已知函数，则是。
a．奇函数 b．偶函数。
c．既是奇函数也是偶函数 d．既不是奇函数也不是偶函数。
4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为。
ab． cd．
5．已知向量若与平行，则实数的值是
abcd．
6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为。
a． b． c． d．1
7．已知，那么函数的图象不可能是。abcd
8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是。
若，则；若，则；
若，则；若，则．
a．②④b．①③c．①④d．②③
9．如图，在△中， ,若，则的值为。
ab c d
10．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是。
a． b． cd．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11．二项式的展开式中，的系数是，则实数＝__
12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为 ．
13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 ．
14．过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰**段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．
15．若在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16.（本小题满分13分）
如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），记，1）求露天活动室的面积关于的函数的表达式；
2）求露天活动室的面积的最大值。
17．（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．
ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．
18.（本小题满分13分）
如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且．
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求出。
的长；不存在，说明理由．
19．（本小题满分13分）
已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点与椭圆交于两点，且与直线交于点．
ⅰ) 求椭圆的离心率；
ⅱ) 试判断直线，，的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点a处的切线斜率为－1.
1)求a的值及函数f(x)的单调区间；
2)证明：当时，；
3)证明：当时，.
21．（本小题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请任选2题作答。
1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换。
已知矩阵（）．
ⅰ）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；
ⅱ）当时，曲线在矩阵的对应变换作用下得到曲线：，求的值．
2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程。
在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)．以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
ⅱ）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围．
3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲。
已知不等式的解集与不等式的解集相同．
ⅰ）求，的值；
ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．
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