2024年6月20日数学试卷。
一、选择题（共16小题；共42分）
1. 的倒数是。
a. b. c. d.
2. 下列计算正确的是。
a. b.
c. d.
3. 2016 年 4月 6 曰 22：20某市某个观测站测得：空气中pm2.5含量为每立方米．，则将用科学记数法表示为。
a. b. c. d.
4. 若，则的值是。
a. b. c. d.
5. 化简：
a. b. c. d.
6. 关于的一元二次方程有实根，则的最大值为。
a. b. c. d.
7. 如图1，在中，，；过点的直线与交于点，且将的面积分成相等的两部分，则
a. b. c. d.
8. 图 1 中圆柱的主视图与俯视图如图 2 所示，一只蚂蚁从点沿着圆柱的侧面爬行到点的最短路线长为。
a. b. c. d.
9. 对于非零的两个实数，，规定，若，，则的值为。
a. b. c. d.
10. 若，， 这三个数的平均数为，方差为，则，， 的平均数和方差分别是。
a. ，b. ，c. ，d. ，11. 如图，在的正方形网格图中有，则
a. b. c. d.
12. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为。
a. b. c. d.
13. 函数的图象位于。
a. 第四象限 b. 第三象限 c. 第二象限 d. 第一象限。
14. 如图，将矩形沿折叠，使点， 重合，已知，；则：①；上面结论正确的有。
a. 个 b. 个 c. 个 d. 个。
15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．得出以下结论：
①点和点关于直线对称；②当时，；
④当时，， 都随的增大而增大．
其中正确的是。
a. ①b. ②c. ①d. ①
16. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限， 与轴相切于点，与轴交于， 两点，则点的坐标是。
a. b. c. d.
二、填空题（共4小题；共12分）
17. 分解因式。
18. 如图，四边形，， 在上， 在上，将沿折叠，得到，则图中度．
19. 如图， 为半圆的直径，点在的延长线上， 切半圆于点， 于点，，半圆的半径为，则的长为。
20. 如图，在直线的下方依次作小正方形，每个小正方形的一个顶点都在直线上，若最小的正方形左边顶点的横坐标是，则从左到右第个小正方形的边长是。
三、解答题（共6小题；共66分）
21. 三个小球上分别标有数字，，，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为，这样确定了点．
1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点所有可能的结果；
2）求点在函数的图象上的概率．
22. 已知，抛物线的顶点为，直线过点，直线与抛物线及轴分别交于，．
1）求的值；
2）若为的中点，求的值；
3）在（2）的条件下，直接写出不等式的解集．
23. 已知方程的解是，求关于的方程的解．
24. 如图，在菱形中， 是对角线上任一点（不与， 重合），连接，；过作交于，过作交于，连接．
1）求证：；
2）若，求证：四边形是矩形．
25. 甲、乙两列火车分别从a，b两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点b城，乙车开往终点a城，乙车比甲车早到达终点；如图，是两车相距的路程（千米）与行驶时间（小时）的函数的图象．
1）经过小时两车相遇；
2）a，b两城相距千米路程；
3）分别求出甲、乙两车的速度；
4）分别求出甲车距a城的路程、乙车距a城的路程与的函数关系式；（不必写出的范围）；
5）当两车相距千米路程时，求的值．
26. 已知，如图，，，为延长线上一点，；过， 作直线，将绕点逆时针旋转， 与交于点，与交于点，当与重合时，停止旋转；过作于；设，．
1）**1用含的代数式表示， 的长；
2）**2当直线过中点时，求的值；
3）**3用含的代数式表示的长；
4）发现。求与之间的函数关系式；
5）**4当为多少时，．
第一部分。1. a
2. c 3. c
4. b 5. b
6. d 7. c
8. d 9. a
10. b
11. a
12. d
13. a
14. c
15. a
16. d 第二部分。
解析】连接，切半圆于， ．是中点．是中点．
20. 或。
第三部分。21. （1） 树状图如图所示．
共有，，，九种可能结果．
2） 其中有点和在函数的图象上，22. （1），直线过，2） 由（1）可知直线，为中点，3）或．
方程两边同时乘以，得．
解得。经检验， 是原方程的解，所以原方程的解为。
即。把代入，得．
解得。24. （1） 因为四边形是菱形，所以，所以，．
所以，在和中，所以．
2） 由知，因为，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形．
3） 设甲、乙两车的速度分别为千米/时， 千米/时，甲车的速度为：
解得。答：甲车车速为千米/时，乙车速度为千米/时．
5），点表示乙车到达a城，此时两车相距，线段的解析式为：；
线段的解析式为：，时， 或．
26. （1） 在中，由勾股定理可得．，．
在中，2）直线过中点，．，解得．
5） ，在中。
．，解得．答：当为时，．
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