(2024年1月最新最细）2011全国中考真题解析。
120考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程。
一、选择题。
1. （2011泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（ ）
a、x=2 b、x=0 c、x1=0，x2=2 d、x1=0，x2=﹣2
考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．
解答：解：∵x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．
故选c．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．
2. （2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（ ）
a、（x-2）2+3 b、（x+2）2-4 c、（x+2）2-5 d、（x+2）2+4考点：配方法的应用．
专题：配方法．
分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选c．
点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．
3. （2011柳州）方程x2﹣4=0的解是（ ）
a、x=2 b、x=﹣2
c、x=±2 d、x=±4
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．
解答：解：x2=4，x=±2．
故选c．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．
4. （2011湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（ ）
a、x=4 b、x=3
c、x=2 d、x=0
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：把原方程的左边利用提取公因式的方法变为两个一次因式乘积的形式，根据两因式积为0，两因式中至少有一个为0，得到两个一元一次方程，求出两方程的解即为原方程的解，进而得到被漏掉的根．
解答：解：x2﹣x=0，提公因式得：x（x﹣1）=0，可化为：x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1，则被漏掉的一个根是0．
故选d．点评：此题考查了解一元二次方程的一种方法：因式分解法．一元二次方程的解法还有：直接开平方法；公式法；配方法等，根据实际情况选择合适的方法．
5. （2011，台湾省，29,5分）若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（
a、1 b、8 c、16 d、61
考点：解一元二次方程-直接开平方法。
分析：利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可．
解答：解：（3x﹣c）2﹣60=0 （3x﹣c）2=60
3x﹣c=± 3x=c± x=
又两根均为正数，且＞7．
所以整数c的最小值为8
故选b．点评：本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．
6.（2011山东淄博10，4分）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
ab. c.﹣1 d.1
考点：分式的化简求值；一元二次方程的解。
专题：计算题。
分析：先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．
解答：解：原式=，a是方程x2+x﹣1=0的一个根，a2+a﹣1=0，即a2+a=1，原式==1．
故选d．点评：本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．
7. （2011四川眉山，10，3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长l的取值范围是（ ）
a．1＜l＜5 b．2＜l＜6 c．5＜l＜9 d．6＜l＜10
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长l的取值范围．
解答：解：∵x2﹣5x+6=0，（x﹣2）（x﹣3）=0，x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，第三边a的取值范围是：1＜a＜5，该三角形的周长l的取值范围是6＜l＜10．
故选d．点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：
三角形任意两边之和大于第三边．
8．（2011南充，6，3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
a、2 b、3 c、﹣1，2 d、﹣1，3
考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．
解答：解：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，x+1=0，或x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3．
故选d．点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．.
9. （2011黔南，13，4）分三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
a、11 b、13
c、11或13 d、不能确定。
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系。
专题：计算题；因式分解。
分析：先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
解答：解：（x﹣2）（x﹣4）=0
x﹣2=0或x﹣4=0
x1=2，x2=4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长为4，周长=3+6+4=13．
故选b．点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．
10.（2024年湖南省湘潭市，7，3分）一元二次方程（x-3）（x-5）=0的两根分别为（ ）
a、3，-5 b、-3，-5 c、-3，5 d、3，5
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：由（x-3）（x-5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．
解答：解：∵（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，解得x1=3，x2=5．
故选d．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
11.（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程的根（ ）
a． bcd．
考点：解一元二次方程-配方法。
专题：计算题。
分析：运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．
解答：解：原方程左边配方，得，故选d．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12. 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）
a、-1 b、2 c、1和2 d、-1和2
答案】d考点】解一元二次方程-因式分解法．
专题】计算题．
分析】先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．
解答】解：x（x-2）+（x-2）=0，∴（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．故选d．
点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
13. （2011福建福州，7，4分）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（ ）
a．有两个不相等的实数根 b．有两个相等的实数根。
c．只有一个实数根d．没有实数根。
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．
分析：先把原方程变形为：x2﹣2x=0，然后计算△，得到△=4＞0，根据△的含义即可判断方程根的情况．
解答：解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选a．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，原方程有两个不相等的实数根；当△=0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
14. （2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
a.﹣4或﹣1 b.4或﹣1
c.4或﹣2 d.﹣4或2
考点：解一元二次方程-因式分解法。
分析：根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．
解答：解：依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．
故选b．点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．
15. （2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
a． b． c． d．
考点：解一元二次方程-配方法．
分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
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