专题10：圆的有关性质。
2024年1月22日点今教育专用）
一、选择题。
1. （2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙a经过点c(0,5)和点o (0,0)，b是y轴右侧⊙a优弧上一点，则cos∠obc 的值为【 】
abcd．答案】b。
考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质，300角的三角函数值。
分析】连接ao，co，由已知⊙a的直径为10，点c(0，5)，知道△oac是等边三角形，所以∠cao=600，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠obc =300，因此∠obc的余弦值为。故选b。
2. （2012威海 3分）如图，点a、b、o是正方形网格上的三个格点，⊙o的半径为oa，点p是优弧上的一点，则的值是【 】
a．1 b． c． d．
答案】a。考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。
分析】如图，连接ao并延长交⊙o于点p1，连接ab，bp1。设网格的边长为a。
则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠abp1=900。
根据勾股定理，得ab=bp1=。
根据正切函数定义，得。
根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠abp=∠abp。∴。故选a。
3. （2012德州3分）如图，在半径为5的圆o中，ab，cd是互相垂直的两条弦，垂足为p，且ab=cd=8，则op的长为【 】
a．3b．4 cd．
答案】c。考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
分析】作om⊥ab于m，on⊥cd于n，连接op，ob，od，ab=cd=8，由垂径定理和全等三角形的性质得，am=bm=cn=dn=4，om=on。
又∵ob=5，∴由勾股定理得：
弦ab、cd互相垂直，∴∠dpb=90°。
om⊥ab于m，on⊥cd于n，∴∠omp=∠onp=90°。
四边形monp是正方形。∴pm=pn=om=on=3。
由勾股定理得：。故选c。
4. （2012广东深圳3分）如图，⊙c过原点，且与两坐标轴分别交于点a、点b，点a的坐标为(0，3)，m是第三象限内上一点，∠bm0=120o，则⊙c的半径长为【 】
a．6 b．5 c．3 d。
答案】c。考点】坐标与图形性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含30度角的直角三角形的性质。
分析】∵四边形abmo是圆内接四边形，∠bmo=120°，∴bao=60°。
ab是⊙o的直径，∴∠aob=90°，∴abo=90°－∠bao=90°－60°=30°，点a的坐标为（0，3），∴oa=3。∴ab=2oa=6，∴⊙c的半径长= =3。故选c。
5. （2012浙江湖州3分）如图，△abc是⊙o的内接三角形，ac是⊙o的直径，∠c=50°，∠abc的平分线bd交⊙o于点d，则∠bad的度数是【 】
a．45° b．85° c．90° d．95°
答案】b。考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系圆心角、弧、弦的关系。
分析】∵ac是⊙o的直径，∴∠abc=90°。
∠c=50°，∴bac=40°。
∠abc的平分线bd交⊙o于点d，∴∠abd=∠dbc=45°。∴cad=∠dbc=45°。
∠bad=∠bac+∠cad=40°+45°=85°。故选b。
6. （2012浙江衢州3分）如图，点a、b、c在⊙o上，∠acb=30°，则sin∠aob的值是【 】
a． b． c． d．
答案】c。考点】圆周角定理，特殊角的三角函数值。
分析】由点a、b、c在⊙o上，∠acb=30°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠aob=2∠acb=60°，然后由特殊角的三角函数值得：
sin∠aob=sin60°=。故选c。
7. （2012浙江台州4分）如图，点a、b、c是⊙o上三点，∠aoc=130°，则∠abc等于【 】
a． 50b．60c．65d．70°
答案】c。考点】圆周角定理。
分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠abc=∠aoc=65°。故选c。
8. （2012江苏淮安3分）如图，ab是⊙o的直径，点c在⊙o上，若∠a＝400，则∠b的度数为【 】
a、800 b、600 c、500 d、400
答案】c。考点】圆周角定理，三角形内角和定理。
分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由ab是⊙o的直径，点c在⊙o上得∠c＝900；根据三角形内角和定理，由∠a＝400，得∠b=1800－900－400=500。故选c。
9. （2012江苏苏州3分）如图，已知bd是⊙o直径，点a、c在⊙o上，，∠aob=60°，则∠bdc
的度数是【 】
a.20b.25c.30d. 40°
答案】c。考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。
分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠bdc的度数：
，∠aob=60°，∴bdc=∠aob=30°。故选c。
10. （2012江苏泰州3分）如图，△abc内接于⊙o，od⊥bc于d，∠a=50°，则∠ocd的度数是【 】
a．40° b．45° c．50° d．60°
答案】a。考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。
分析】连接ob，a和∠boc是弧所对的圆周角和圆心角，且∠a=50°，∠boc=2∠a=100°。
又∵od⊥bc，∴根据垂径定理，∠doc=∠boc=50°。
∠ocd=1800－900－500=400。故选a。
11. （2012江苏徐州3分）如图，a、b、c是⊙o上的点，若∠aob=700，则∠acb的度数为【 】
a．700 b．500 c．400 d．350
答案】d。考点】圆周角定理。
分析】根据同（等）弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：
acb=∠aob=×700=350。故选d。
12. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦ab与小圆相切，则弦ab的长为【 】
a．3cm b．4cm c．6cm d．8cm
答案】c。考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。
分析】如图，连接oc，ao，大圆的一条弦ab与小圆相切，∴oc⊥ab。∴ac=bc=ab
oa=5cm，oc=4cm，在rt△aoc中，。
ab=2ac=6（cm）。故选c。
13. （2012湖北黄冈3分）如图，ab 为⊙o 的直径，弦cd⊥ab 于e，已知cd=12，则⊙o 的直径为【 】
a. 8 b. 10 c.16d.20
答案】d．考点】垂径定理，勾股定理。
分析】连接oc，根据题意，ce=cd=6，be=2．
在rt△oec中，设oc=x，则oe=x-2，∴（x-2）2+62=x2，解得：x=10。
直径ab=20。故选d．
14. （2012湖北随州4分）如图，ab是⊙o的直径，若∠bac=350，则么∠adc=【
a.350 b.550 c.700 d.1100
答案】b。考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。
分析】∵ab是⊙o的直径，∴∠acb=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∠bac=35°，∴b=90°－∠bac=90°－35°=55°（直角三角形两锐角互余）
∠b与∠adc是所对的圆周角，∠adc=∠b=55°（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）。故选b。
15. （2012湖北襄阳3分）△abc为⊙o的内接三角形，若∠aoc=160°，则∠abc的度数是【 】
a．80° b．160° c．100° d．80°或100°
答案】d。考点】圆周角定理。1028458
分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠abc的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠ab′c的度数：
如图，∵∠aoc=160°，∴abc=∠aoc=×160°=80°。
∠abc+∠ab′c=180°，∴ab′c=180°﹣∠abc=180°﹣80°=100°。
∠abc的度数是：80°或100°。故选d。
16. 10. （2012湖北鄂州3分）如下图oa=ob=oc且∠acb=30°，则∠aob的大小是【 】
a.40° b.50° c.60° d.70°
答案】c。考点】圆周角定理。
分析】∵oa=ob=oc，∴a、b、c在以o为圆心oa为半径的圆上。
作⊙o。acb和∠aob是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠acb=30°，∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠aob=60°。故选c。
17. （2012湖南湘潭3分）如图，在⊙o中，弦ab∥cd，若∠abc=40°，则∠bod=【
a．20° b．40° c．50° d．80°
答案】d。考点】圆周角定理，平行线的性质。
分析】∵弦ab∥cd，∴∠abc=∠bcd（两直线平行，内错角相等）
又∵∠abc=40°，∴bod=2∠abc=2×40°=80°（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选d。
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