北京大学2005 数学专业研究生高等代数与解析几何。
1． 在直角坐标系中，求直线到平面的正交投影轨迹的方程。
其中b是常数。
解：可以验证点，从而。
把写成参数方程：，任取其上一点，设该点到上的投影为点。
整理即知，到上的正交投影轨迹满足方程。
由于，上述方程表示一条直线，而和不同时成立，因此到上的正交投影轨迹是一条直线。
从而到上的正交投影轨迹的方程就是。
2． 在直角坐标系中对于参数的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：.
对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；
对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：记，容易验证，因此直角坐标变换是一个正交变换。
在这个变换下，曲线方程变为。
1) 时，，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为。
2) 时，曲线方程为，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为，即。
3) 时，，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为。
4) 时，曲线方程为，是一个点，是中心型曲线，对称点为。
5) 时，，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为。
6) 时，曲线方程为，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为，即。
7) 时，，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为。
3． 设数域上的级矩阵的元为。
1）.求；2).当时，.求齐次线性方程组的解空间的维数和一个基。解：
若， 若， 若，
若，则，方程组只有零解，其解空间维数为0
若，则由(1)知道的任意一个3级子式的行列式为0，而的一个2级子式的行列式为，从而。
于是方程组解空间的维数是，取向量组，其中，，
可知，其中是阶单位矩阵，是一个的矩阵，从而。
并且对任意的，有
因此都属于方程组解空间，从而是方程组解空间的一组基。
4．（1）设数域上级矩阵，对任意正整数，求。
[c是什么？]
（2）用表示数域上所有级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为上的线性空间。数域上级矩阵称为循环矩阵。用表示上所有级循环矩阵组成的集合。
证明：是的一个子空间，并求的一个基和维数。
证：对任意的，以及，有。
因此。对任意的，和，有。
因此。可知是的一个子空间。
记，其中，对任意的，有，即所有向量都能用向量组线性表出。
设一组数，满足，亦即。
可得，向量组线性无关。
综上向量组是的一组基。
5．（1）设实数域上级矩阵的元为（）。在实数域上维线性空间中，对于，令。试问：是不是上的一个内积，写出理由。
（2）设是级正定矩阵（），且是非零列向量。令，求的最大特征值以及的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基。
解：(1)是上的一个内积，证明如下：
容易验证是上的一个双线性函数。
对中任意的非零向量，
令，是上的一个多项式函数，有。
可得。若，由于在上连续，则必有，
则，即，与是中非零向量矛盾。所以，
所以是上的一个内积。
(2) 由于正定，，可得，由知方程组解空间的维数为，同时也是的属于0特征值的特征子空间。
由，和，知是的特征值，是b的属于特征值的特征向量。
设的属于这个特征值的特征子空间为，由，，所以。
即，而，，的一组基为，因此没有其他特征值，是的唯一非零特征值，也是最大的特征向量。
6．设是数域上维线性空间上的一个线性变换，用表示上的恒等变换，证明：证明：记。
其中， 因此，于是。
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