北京大学2024年研究生入学考试

北京大学2024年研究生入学考试：概率统计与线性规划试题。

一、（8分）假设事件a与bi（i=1,2,..n)相互独立，其中b1,b2,..bn两两不相容。证明a的补集与b1+b2+..bn相互独立。

二、（10分）已知随机变量x的分布函数为。

试求将x标准化之后得到的变量y（即y＝(x－μ)其中μ 和σ分别表示x的期望和标准差）的分布函数。

三、（12分）设（x,y)的联合密度函数为。

其中，c是某个待定常数。

试求：1、p｛x＋y＞1｜x>0};

2、x与y是否相互独立。

四、（8分）在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松（poisson)分布，根据以往大量的随机观测平均每小时有36.73人候车，请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少？

五、（12分）设总体服从区间[0,θ]上（θ＞0）的均匀分布，x1,x2,..xn是从中抽取的一个简单随机样本。

试求：1、θ的最大似然估计；

2、θ的一个置信度为1-α 的置信区间(α 0)。

六、（10分）某个厂家生产的10件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了n次，结果没有抽到次品，并由此接受这10件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误？

为了使得甲犯该类型错误的最大概率不超过60%，他至少需要抽取多少次？

八、(6分)试证明：若线性规划有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。

九、(12分)线性规划的目标函数是max z，在用标准的单纯型法求解的过程中，得到下表(其中a,b是常数，部分数据有缺失)：

1) 在答卷纸上画出此单纯型表，并在所有空格中填上适当的数(其中可含参数a,b)。

2) 判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。

(1)此解为最优解？请写出相应的基解和目标函数值。

(2)此解为最优解，此规划又有无穷多最优解？

(3)此规划有无界解？

(4)此解不是最优解，且能用单纯型法得到一下一个基解。

十、(12分)某地区有三个煤矿，专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单位：元/吨)：。

已知三个煤矿的产量分别为25000吨，18000吨，17000吨；四个城镇的需求量分别为12000吨，15000吨，18000吨，24000吨。若不能满足需求，各城市的最低需求分别为8000吨，10000吨，12000吨，15000吨。

(1)试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。

(2)写出此线性规划的对偶规划。

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