北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 （理科）
第ⅰ卷（选择题共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1）下列命题中，真命题是。
ab）, cd）
2）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为，且前三组数据的频数之和等于，则的值为。
abcd）3）的展开式中的常数项为。
（abcd）
4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为
ab） cd）
5）若向量，满足，，且，则与的夹角为。
abcd）6）已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是。
a），且b）∥，且。
c），且d），且∥
7）若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为。
abc）或 （d）或
8）定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为。
ab） （cd）
第ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9) 设，且为正实数，则的值为 .
10) 若圆的参数方程为（为参数），则圆的圆心坐标为 ，圆与直线的交点个数为 .
11)在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点的坐标为___若直线的倾斜角为，则的值为 ．
12) 如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则 ．
13) 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为__.
14) 已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：
当时，有最小值，无最大值；
当且，时，的取值范围为。
其中，所有正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
已知函数（其中，，）的部分图象如图所示。
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）已知在函数的图象上的三点的横坐标分别为，求的值。
16）（本小题共13分）
某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、
乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时。
ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望。
17）（本小题共13分）
如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥，且，，，
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
18）（本小题共14分）
已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.
ⅰ）当的坐标为时，求过三点的圆的方程；
ⅱ）证明：以为直径的圆恒过点。
19）（本小题共13分）
已知函数（）．
ⅰ）试讨论在区间上的单调性；
ⅱ）当时，曲线上总存在相异两点，，使得曲线。
在点，处的切线互相平行，求证：.
20）(本小题共14分)
对于数列，令为，，，中的最大值，称数列为的“创新数列”.例如数列，，，的创新数列为，，，
定义数列：是自然数，，，的一个排列。
ⅰ）当时，写出创新数列为，， 的所有数列；
ⅱ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由。
北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）
数学参***及评分标准（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1）a2）b3）d4）a
5）c6）b7）d8）c
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15）（共13分）
解：（ⅰ由图可知，，最小正周期。
由，得3分
又 ，且。所以， 即5分。
所以6分。ⅱ）因为。
所以7分。所以。
由余弦定理得11分。
因为，所以13分。
其它解法酌情给分）
16）（共13分）
解：（ⅰ甲、乙两人所付费用相同即为，，元2分。
都付元的概率为；
都付元的概率为；
都付元的概率为。
故所付费用相同的概率为6分。
ⅱ）依题意，的可能取值为8分。
故的分布列为。
………11分。
所求数学期望13分。
17）（共13分）
ⅰ）证明：因为//，平面，平面，所以//平面2分。
因为为矩形，所以//．
又平面，平面，所以//平面4分。
又，且，平面，所以平面//平面5分。
又平面，所以平面6分。
ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系。
………7分。
由已知得，易得，．
则，，．8分。
设平面的法向量，则。
即令，则，．
所以10分。
又是平面的一个法向量。
所以．故所求二面角的余弦值为13分。
18）（共14分）
ⅰ）解：当的坐标为时，设过点的切线方程为，由消得1)
令，解得。代入方程(1)，解得3分。
设圆心的坐标为，由，得，解得。
故过三点的圆的方程为5分。
ⅱ）证明：设，由已知得，，设切点分别为，所以，切线的方程为即，切线的方程为即7分。
又因为切线过点，所以得。 ①
又因为切线也过点，所以得。 ②
所以，是方程的两实根，由韦达定理得9分。
因为，所以。
将代入，得13分
所以以为直径的圆恒过点14分。
19）（共13分）
ⅰ）解：由已知，. 2分。
由，得4分。
因为，所以，且．
所以在区间上，；在区间上，.
故在上单调递减，在上单调递增6分。
ⅱ）证明：由题意可得，当时，（，且）.
即 ，所以8分。
因为，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得11分。
令，因为，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，
所以13分。
20）（共14分）
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