嘉兴学院试卷。
2012—2013学年第 1 学期期末考试试卷no a 卷。
课程名称：常微分方程使用班级：数学、信计11级考试形式：闭卷试卷**：29
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1．积分方程的解是b )
abcd 2．一阶线性微分方程的积分因子是a
ab cd
3．用待定系数法求方程的非齐次特解，则应设为c )
ab cd
4．若在全平面上连续且对满足利普希茨（lipschitz）条件，那么方程的任一解的存在区间为 ( b )
a 必为b 因解而定
c 必为d必为
5．设函数向量组在区间上线性相关，则它的朗斯基（wronsky）行列式在上有 ( c )
a b cd
二、填空题(每小题3分，共15分)
1．微分方程的阶数为 2 .
2．当函数使方程成为恰当方程。
3．设函数和于区间上连续，是方程的解，且且，则。
4．写出方程的基本解组是。
5．如果二阶方程组有特征值1，－1，它们相应的特征向量分别是；则方程组的基解矩阵为。
四、计算题(每小题6分，共30分)
1．求方程的解。
解：分离变量为。
两边同时积分可得。
所以有。2．求方程的通解。
解： 令，则。
所以有。3．求方程的通解。
解：方程两边同时除以积分因子可得。
4．求方程的通解。
解：令， 则。
所以有。两边同时积分得，即。
或。5．求方程的通解。
解：特征方程为：，特征值为。
设特解为，代入比较可得。
五、试求微分方程初值问题。
的第。一、第二次近似解，并按照存在唯一解定理讨论在区域中的存在区间和第。
一、第二次近似解误差估计。 （12分）
解：令，则。
在区域中可取。
lipschitz常数，所以第。
一、第二次近似解的误差为。
六、求方程组的基本解矩阵，以及标准基本解矩阵，并求满足于初值条件的解。（12分）
解：由。特征根为，对应的特征向量为， ，所以基本解矩阵。
标准基本解矩阵满足于初值条件的解。
七、应用题(8分)
某国的人口增长与当前国内人口成正比。若两年后，人口增加一倍，三年后人口是20000个，试估计该国最初人口数。
解：设该国在时刻的人口为，最初人口为，则有题意得。
解为。由初值条件，得，所以有。
再由条件，推出。
求得。最初人口数为7071个。
八、证明题(8分)
考虑方程组，其中。
1） 试验证是的基解矩阵。
2） 试求的满足初值条件的解。
证明：（1）因为。
且，故是的基解矩阵。
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