1997澳門大學入學試數學b卷。
a) 把下式化至最簡。
b) 把多項式 a4 + a2b2 + b4 因式分解 。
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題 2. (四分鐘)
若圓柱的底面直徑增加 20% ，而圓柱的體積保持不變 ， 求圓柱的高度改變的百份率 。
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題 3. (四分鐘)
a) 求 x3 - 1 和 x4 - 1 的最小公倍式 。
b) 若一等比數列的前五項為 ， 求第 n 項的公式 。
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題 4. (五分鐘)
解下列不等式組 ， 並將解集繪畫於數軸上 。
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題 5. (五分鐘)
求通過點 (1,0) 、2,8) 和 (3,22) 的拋物線的方程 。
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題 6. (八分鐘)
在座標平面上繪出下列不等式組的解域 。
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題 7.(八分鐘)
有四對夫婦在一個音樂會中預訂了八張相連的座位。
a) 若沒有條件限制，有多少種不同坐法？
b) 若每對夫婦都要相鄰而坐，有多少種不同坐法？
c) 若女士們要相鄰而坐，有多少種不同坐法？
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題 8. (八分鐘)
(a) 在區間， 解。
b) 繪出函數 y = sinx + cosx 在區間的略圖 。
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題 9. (八分鐘)
a) 設 l 的方程為 y = ax + 3 ， 以 a 表 d 。
(提示 : d 為 a 的二次函數)
b) 求使 d 值為最小的直線 l 的方程式 ， 並計算 d 的最小值 。
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題 10. (八分鐘)
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題 11. (八分鐘)
a) 把化為部份份式的和 。
b) 由此求以上式為第 r 項之數列的前 n 項和。
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題 12. (八分鐘)
上圖中 ，abcd 為正方形 ，且 ad = 1 +2 + 3n 。 n 為正整數 )
a) 求陰影區域的面積 。 這裡 fe cd ， gf bc 且 bg = ed = n 。
b) 利用 (a) ，求 13 + 23 + 33n3 (n 1) 。
(提示 : 找出圖中所有 " 形面積之和 )
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題 13. (八分鐘)
a) 設 x 和 y 為整數 。 證明若 x - y 及 y 都被 6 整除 ， 那麼 x 亦可被 6 整除 。
b) 利用 (a) 及數學歸納法證明對所有自然數 n ， 4n3 + 3n2 + 5n 為 6 的倍數 。
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題 14. (十分鐘)
a) 若 8 、 11 和 17 三個數字從原有的 9 個數字中刪去 ， 那麼餘下 6 個數字的平均值與原來 9個數字的平均值相等 。 求這 9 個數字的平均值。
b) 班中有 6 男 10 女 ，從中隨機抽選兩人。兩人都是女學生的概率是多少 ？
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題 15. (十分鐘)
某銀行提供以下兩種存款計劃 。
計劃一利息按每月複利計算 ， 年利率為 12% 。
計劃二利息按連續複利計算 ， 年利率為 11% 。
a) 若王先生打算把葡幣一萬元存放於上述銀行 ，為期十年， 他應選擇那種存款計劃 ？ 解釋你的答案。
b) 分別計算在以上兩種計劃下 ， 何時他的本利和為他原來投資的三倍 。
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題 16. (十分鐘)
a) 若 a 0 及 b 0 ，證明常有及祗會當 a = b 時上面不等式取等號 。
b) 利用 (a) 計算函數 (t>1) 的最小值 ，並求相應的 t 值 。
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題 17. (十分鐘)
a) 證明若直線 y = mx + k 與拋物線 y=x2 相切 ，那麼 m2 + 4k = 0 。
b) 對通過拋物線 y = x2 外一點作拋物線的切線 ， 利用 (a) 求這些切線的方程 。
c) 求 (b) 中的切線與拋物線 y = x2 相應的切點 。
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題 18. (十分鐘)
上圖中 ，abcd 及 mdef 為正方形 。 而 m 是 ab 的中點。
a) 證明amd 的面積是amf 面積的兩倍 。
b) 證明amd 及adf 的面積相等 。
a) 解：
b) 解：
a4 + a2b2 + b4
= (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
2.解： 故高度改變的百分率為
答： 圓柱高度縮小 30.56 %
a) 解：
(x3 - 1) =x - 1)(x2 + x + 1)
(x4 - 1) =x2 + 1)(x + 1)(x - 1)
= (x2 + 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x - 1)
b) 解：
由 l = a rn-1
第n項公式：
4.解： 5.解：
設拋物線 : y = ax2 + bx + c
過 (1, 0) :0 = a + b + c ..1)
過 (2, 8) :8 = 4a +2b + c ..2)
過 (3, 22): 22 =9 a + 3b + c ..3)
聯立 (1),(2),(3)可得
a = 3 , b = 1 , c = 2
拋物線為 :
y = 3x2 - x - 2
6.解： 下圖斜線部分及其邊界為所求。
a) 解：
坐法為 : 8! =40320 (種)
b) 解：
坐法為 : 2(4!) 48 (種)
c) 解：
坐法為 : 5!)(4!) 2880 (種)
a) 解：
b) 解：
由 (a)
y = sinx + cosx
a) 解：
l: y = ax + 3
(1,3)沿y軸方向到l的距離平方為
0 + a + 3 - 3)2 = a2
(2,6)沿y軸方向到l的距離平方為
0 + 2a + 3 - 6)2 = 2a + 3)2
(3,4)沿y軸方向到l的距離平方為
0 + 3a + 3 - 4)2 = 3a - 1)2
d = a2 + 2a - 3)2 + 3a - 1)2
= a2 + 4a2 - 12a + 9 + 9a2 - 6a + 1
= 14a2 - 18a + 10
b) 解：
14y = 9x + 52
9x - 14y + 52 = 0
10.解：
設 (x1 , y1)為 x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 上的點
則 x12 + y12 - 2x1 - 4y1 + 1 = 0...1)
設中點坐標為 ， 則
x1 = 2x + 1
y1 = 2y - 2
由 (1)
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