高三数学练习
一．填空题。
1．方程的解是。
2．函数的反函数。
3．直线的倾斜角。
4．函数的最小正周期。
5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是。
6．若向量的夹角为，，则 ．
7．如图，在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的。
大小是结果用反三角函数值表示）．
8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工。
序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；
完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是 ．
9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是。
结果用数值表示）．
10．对于非零实数，以下四个命题都成立：
③ 若，则若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是。
二．选择题（本大题满分16分）
11．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两。
个根，那么的值分别是（ ）
12．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
13．数列中， 则数列的极限值（ ）
ａ．等于等于等于或不存在。
三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分12分）
在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求。
正四棱锥的体积．
17．（本题满分14分）
在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2024年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2024年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2024年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2024年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2024年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数，常数．
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
1）若是边长为1的等边三角形，求该。
果圆”的方程；
2）设是“果圆”的半椭圆。
上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
2024年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)答案要点
一、填空题（第1题至第11题）
二、选择题（第12题至第15题）
三、解答题（第16题至第21题）
16．解：作平面，垂足为．连接，是。
正方形的中心，是直线与平面。
所成的角． ，
17．解： 由题意，得为锐角，，
由正弦定理得，
18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2024年太阳电池的年生产量的增长率依次为。
则2024年全球太阳电池的年生产量为
兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．
解得． 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到．
19．解： （1），原不等式的解为。
（2）当时，对任意，，
为偶函数．
当时，取，得， ，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
20．解：（1）设数列的公差为，则，解得，数列为．
由题意得是首项为，公差为的等差数列．
当时， 当时，
综上所述。21．解：（1），于是，所求“果圆”方程为，．
2）设，则， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处。
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可。
当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是。
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是。
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
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