第三讲必会知识点。
一、火柴游戏问题：
总数：a根，每次取1~n根。
1） 取最后一根胜： a÷(n+1)=
1. 整除---后去者有必胜的策略。
有余数—先去者有必胜的策略
2） 取最后一根输：(a+1)÷(n+1)=
整除---后去者有必胜的策略。
有余数—先去者有必胜的策略。
方法：1.倒推法：
2.对称法：
基础练习：1． 有50根火柴，甲、乙轮流每次取1~3根，规定谁取走最后一根谁获胜？双方采取最佳方案，那么谁将获胜？
2． 有30根火柴，，甲、乙轮流每次取1~3根，规定谁取走最后一根谁输？双方采取最佳方案，那么谁将获胜？
提升练习：1.一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的做法？
基础练习答案：
1.有50根火柴，甲、乙轮流每次取1~3根，规定谁取走最后一根谁获胜？双方采取最佳方案，那么谁将获胜？
1） 先取有必胜的策略。
2） 先取2根，对方取n根，我就取4-n根。
2.有30根火柴，，甲、乙轮流每次取1~3根，规定谁取走最后一根谁输？双方采取最佳方案，那么谁将获胜？
1）先取有必胜的策略。
2）先取1根，对方取n根，我就取4 -n根。
提升练习答案：
3..一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的做法？
解析]本题是我们第三节课的最后一道题，我们可以通过找规律：
第一层不用爬，我们记为有一种，登上第二层有1种走法，登上第三层有2种走法，登上第四层有3种走法，登上第五层有5钟走法。
以此类推：1、一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换；例如自然数5636，各位数字之和为5+6+3+6=20，对20再做这样的变换得2+0=2.。对数123456789...
272829，最终得到的一位数是———
2、在一块黑板上写着450位数123456789123456789...将***重复50次）。删除这个书中所有位于奇数位上的数字；在山区所得数中所有位于奇数位上的数字，再删去。
并如此一直删下去。最后删去的数字是---4---容易发现，每次留下的应该是2^n位上的数字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一个数字应该是第256位上的数；256/9=28..4，所以，最后删去的是4。
甲盒中放有1993个白球和1994个黑球，乙盒中放有足够多的黑球。现在每次从甲盒中任取两球放在外面，但当被取出的两球同色时，需从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，再将其中的白球再放入甲盒，像这样，经过3985次取放后，甲盒中剩下几个球？各是什么颜色？
每取一次取出2个球，而又必须放进去1个，实际上每次只减少1球，所以取了3985次后实际只取出了3985个球，所以最后还剩2球。
又因为每次无论如何取，白球的奇偶性不变：
若取出2个黑球，则再放入1个黑球，跟白球不搭界；
若取出2个白球，则再放入1个黑球，白球少2，奇偶性不变。
若取出1黑1白，则又将白球放回，白球数量没变，奇偶性自然不变。
所以最后剩下的2个球中1个白1个黑。
a，b，c，d四个盒子中分别放有6，5，4，3个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它的盒子中各取1个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到一个放球最少的盒子，从其它的盒子中各取1个球放入这个盒子中，……如此进行下去，当第2007个小朋友放完后，a，b，c，d四个盒子中的球数依次是
理由是：第一个小朋友放球后的情况
第二个第三个
第四个每四次一个循环，2007除以4余3，甲乙丙丁戊五名同学手拉手未成一个五边形，没每个人心中想一个数，相邻的两个人把所想两数的平均数告诉与他们不相邻的那个人，结果甲—5，乙—8，丙—1，丁—9，戊—8，则乙心中所想的数是？
由已知可以列出：甲加乙=18，乙加丙=16，丙加丁=10，丁加戊=16，戊加甲=2
将它们全加在一起可以得式子：甲+乙+丙+丁+戊=31，再代入戊+甲与丙+丁的值即可得出乙=19
1--2009这2009个自然数按顺时针方向排列在圆周上，从1开始顺时针方向留1，去2，留3去4，如此下去每隔一个数擦去一个，转圈擦下去，问最后剩下的那个数是多少？
易知，第1轮留下的是等被2除余1的数。
第2轮留下的是等被4除余3的数。
第3轮留下的是等被8除余7的数。
直到最后一个数时，一共进行了9轮。
留下的是被2的9次方除，余（2的9次方-1）的数。
亦即此数 + 1能被2的10次方 = 1024整除。
因此最后剩下的数是1024 - 1 = 1023
4、有三堆妻子，甲堆有12枚，乙堆有12枚，丙堆有20枚，现在进行如下的操作：每步从这三堆中的任意两堆中分别取出一枚妻子，然后把这2枚棋子放入另一堆中。问是否有一种操作程序，经过若干部操作之后，使所有棋子都移至某一堆中？
如果有请给出，如果不能写出理由？
5、有三堆妻子，甲堆有12枚，乙堆有15枚，丙堆有20枚，现在进行如下的操作：每步从这三堆中的任意两堆中分别取出一枚妻子，然后把这2枚棋子放入另一堆中。问是否有一种操作程序，经过若干部操作之后，使所有棋子都移至某一堆中？
如果有请给出，如果不能写出理由？
6、有三堆妻子，甲堆有32枚，乙堆有17枚，丙堆有13枚，现在进行如下的操作：每步从这三堆中的任意两堆中分别取出一枚妻子，然后把这2枚棋子放入另一堆中。问是否有一种操作程序，经过若干部操作之后，使所有棋子都移至某一堆中？
如果有请给出，如果不能写出理由？
析：只要有两堆数字只差是3 的整数倍就可以；先把相差整数倍的两堆数量通过移动变成相同；然后。。。
8、把20个质量分别为克的砝码放在天平两边，若按如下要求正好达到平衡，该怎样放？
1）试将这20个砝码分别放在天平两边，使之达到平衡，且可从每边各取下同样多的偶数个砝码，仍能使天平保持平衡。
左边） 右边）
2）试将这20个砝码分别放在天平两边，使之达到平衡，且从每边无论怎样取下同样多个砝码，都不能使天平再保持平衡。
左边）右边）
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