2007年高考数学试题导数。
2、(安徽文20)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈r,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
ⅰ)求g(t)的表达式；
ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值。
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
解：（）我们有。
由于，，故当时，达到其最小值，即。
（）我们有．
列表如下：由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
4、（福建理 22）已知函数。
ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
ⅲ）设函数，求证：．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（ⅰ由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．
（ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．当变化时的变化情况如下表：
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
ⅲ），由此得，
故．9、（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
i）用表示，并求的最大值；
ii）求证：（）
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（ⅰ设与在公共点处的切线相同．，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．令，则．于是。
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．
ⅱ）设，则．
故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
16、（全国二理 22）已知函数．
1）求曲线在点处的切线方程；
2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：，即 ．
2）如果有一条切线过点，则存在，使。
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程。
有三个相异的实数根．记 ，则
当变化时，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则。
即 ．18、（山东理 22）设函数，其中．
ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
ⅱ）求函数的极值点；
ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解：（ⅰ由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增．
ⅱ）①由（ⅰ）得，当时，函数无极值点．
时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点．
当时，有两个不同解，时，即，．
时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，，随的变化情况如下表：
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．
ⅲ）当时，函数，令函数，则．
当时，，所以函数在上单调递增，又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
对任意正整数取，则有．
所以结论成立．
27、（浙江理 22）设，对任意实数，记．
）求函数的单调区间；
）求证：（ⅰ当时， 对任意正实数成立；
ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
i）解：．由，得。
因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
ii）证明：（i）方法一：
令，则。当时，由，得，当时，所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：对任意固定的，令，则。
由，得．当时，．
当时，所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
ii）方法一：
由（i）得，对任意正实数成立．
即存在正实数，使得对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：
即。又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
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