2007年高考数学试题分类详解。
导数。1、（浙江理8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
答案】：d分析】：检验易知a、b、c均适合，d中不管哪个为均不成立。
2、（海、宁理10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
答案】：d分析】：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程。
为则切线与坐标轴交点为所以：
3、（海、宁文10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
答案】：d分析】：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程。
为则切线与坐标轴交点为所以：
4、（辽宁理12）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
a．0是的极大值，也是的极大值。
b．0是的极小值，也是的极小值。
c．0是的极大值，但不是的极值。
d．0是的极小值，但不是的极值。
解析：根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选c
5、（陕西理11）f(x)是定义在（0，+∞上的非负可导函数，且满足xf‘(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有。
≤bf( ≤af(b)
≤f( ≤f(a)
解析：设f（x）=，则，故f（x）=为减函数，由a＜b有，选a
6、（全国1 文11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为。
abcd．
解．曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)围成的三角形面积为，选a。
7、（全国2理8）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为。
a)3b) 2c) 1d)
解．已知曲线的一条切线的斜率为， =解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选a。
8、（全国2文8）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
a．1b．2c．3d．4
解．已知曲线的一条切线的斜率为， =x=1，则切点的横坐标为1，选a。
9、（江苏9）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（c）
abcd．
解析：对于任意实数都有得
当取a=c时取等号。 选c
10、（福建文理11）已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时。
a f’(x)>0，g’(x)>0b f’(x)>0，g’(x)<0
c f’(x)<0，g’(x)>0d f’(x)<0，g’(x)<0
解析：由已知f(x)为奇函数，图像关于原点对称，在对称区间的单调性相同；g(x)为偶函数，在对称区间的单调性相反， x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增，当x<0时， f(x) 递增， f ’(x)>0; g(x)递减， g’(x)<0,选b
11、（江西理11）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
解析：因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线在处的切线的斜率0，选b
二、填空题。
1、(浙江文15)曲线在点(1，一3)处的切线方程是。
答案】： 分析】：易判断点(1，-3)在曲线上，故切线的斜率，∴切线方程为，即。
2、（辽宁理13）已知函数在点处连续，则 ．
解析：因为在点处连续，所以，填-1
3、（广东文12）函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是。
解析】由可得，答案：.
4、（北京文9）是的导函数，则的值是。
解析：是的导函数，，则=3．
5、（湖南理13）函数在区间上的最小值是 ．
答案】–16
解析】6、（湖北文13）已知函数的图象在m（1，f（1））处的切线方程是+2，
答案：3解析：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以3
三、解答题。
1、（安徽理18）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
ⅰ）令f（x）＝xf＇（x），讨论f（x）在（0.＋∞内的单调性并求极值；
ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
2、(安徽文20)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈r,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).
ⅰ)求g(t)的表达式；
ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值。
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
解：（）我们有。
由于，，故当时，达到其最小值，即。
（）我们有．
列表如下：由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
3、（北京理 19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
）求面积的最大值．
解：（）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．
点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为．
）记，则．令，得．
因为当时，；当时，，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
4、（福建理 22）已知函数。
ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
ⅲ）设函数，求证：．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（ⅰ由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．
（ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．当变化时的变化情况如下表：
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
ⅲ），由此得，
故．5、（福建文 20）设函数．
ⅰ）求的最小值；
ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（ⅰ当时，取最小值，即．
ⅱ）令，由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．
6、(广东理、文 20)已知是实数，函数．如果函数在区间上有。
零点，求的取值范围．
解： 若， ,显然在上没有零点， 所以
令得 当时， 恰有一个零点在上；
当即时，也恰有一个零点在上；
当在上有两个零点时， 则。
或。解得或。
因此的取值范围是或 ;
7、（海南理 21）设函数。
）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解：（ⅰ依题意有，故．
从而．的定义域为，当时，；
当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
ⅱ）若，则或．
若，，．当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为。
8、（海南文 19）设函数。
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
ⅱ）由（ⅰ）知在区间的最小值为．
又．所以在区间的最大值为．
9、（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
i）用表示，并求的最大值；
ii）求证：（）
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（ⅰ设与在公共点处的切线相同．，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．令，则．于是。
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．
ⅱ）设，则．
故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．
10、（湖北文19）设二次函数，方程的两根和满足．
i）求实数的取值范围；
ii）试比较与的大小．并说明理由．
本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（ⅰ令，则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
ii），令．
当时，单调增加，当时，即．
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