第十八章圆的周长和面积。
知识要点。如右图所示，当一条线段oa绕着固定端点o在平面内旋转一周，它的另一端点a在平面内画出了一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。围成圆的曲线叫做圆周，线段oa叫做圆的半径，通常用r或r表示。
o点是这个圆的圆心。
在同一个圆中，所有的半径都相等。通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆内，所有直径都相等，且等于半径的2倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
无论什么圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，这个数叫圆周率，用表示。如果用c表示圆周的长度，d表示这个圆的直径，那么，＝。
是一个无限不循环小数：
圆的周长：c＝2r或c＝d
圆的面积：s＝r2＝()2＝()2＝
扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n，那么当圆周长c＝2r时，扇形的弧长计算方法：
l＝×2r＝×r
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)如图，abcd是边长为10厘米的正方形，且ab是半圆的直径，则阴影部分的面积是平方厘米。(取3.14)
点拨过e点作ab的垂线，垂足为o，因为∠cab＝45°，所以点o是半圆的圆心，则阴影部分的面积等于梯形oecb的面积，减去圆o面积的。
解过e点作ab的垂线，垂足为0。
∵∠cab＝45°，∴点0是半圆的圆心。
则s阴影＝s梯形oecb－s⊙o
17.875(平方厘米)
例2 将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆，如图放置。求阴影部分的周长。
点拨阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加两条线段的长。两个半圆的半径分别为4厘米和3厘米；两条线段分别是4厘米和3×2－4＝2(厘米)。
解 (1)两个半圆的弧长是：
＝21.98(厘米)
(2)两条线段的长：
＝6(厘米)
(3)阴影部分的周长为：
21.98＋6＝27.98(厘米)
答：阴影部分的周长是29.98厘米。
例3 直径均为1分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。
点拨要想求金属带的长度，我们必须把它分成8个部分来观察，金属带的长度正好是管子直径的4倍和一根管子圆周长度的总和。中心阴影部分的面积等于中间正方形的面积减去一个圆的面积，其中正方形的边长等于直径。
解金属带的长度：
1×4＋3.14×1＝7.14(分米)
阴影面积：1×1－3.14×()2
1－0.785＝0.215(平方分米)
答：金属带的长度为7.14分米，阴影部分的面积为0.215平方分米。
说明我们在计算比较复杂的周长和面积时，要善于把这个圆形分解再重新组合，这样才会看得清楚明白。
例4 如图，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是长方形面积的，求阴影部分的周长。
点拨阴影部分的周长是半圆的弧长，加上两条长方形的长和一条宽。已知圆的周长，容易求出半径，再求出圆的面积。求出圆的面积，就可以求出长方形的面积，长方形的宽就是圆的直径，从而可以求出长方形的长，这样就可以求出阴影部分的周长了。
解半圆的弧长：
12.56÷2＝6.28(厘米)
长方形的面积：
31.4(平方厘米)
长方形的长：
7.85(厘米)
阴影部分的周长：
25.98(厘米)
答：阴影部分的周长为25.96厘米。
例5 如右图，半圆的半径为15厘米，∠aob＝90°，∠cod＝120°，cd＝26厘米，半圆中阴影部分的面积是多少平方厘米？
点拨本题是一道比较复杂的问题，需要引辅助线和求扇形面积等方面的知识。
解三角形cod的面积：
过点o作cd的垂线交互于f，交cd于e，连接df，因为∠fod＝60°，则△dfo是正三角形。de为△dfo的对称轴，所以fe＝eo＝7.5(厘米)。则三角形cod的面积为：
26×7.5×＝97.5(平方厘米)
圆心角为120°的扇形的面积：
×120＝＝75×3.14＝235.5(平方厘米)
由弦cd和弧围成的弓形面积：
235.5－97.5＝138(平方厘米)
圆心角为90°的扇形面积：
×90＝176.625(平方厘米)
三角形aob的面积：
15×15×＝112.5(平方厘米)
由弦ab和弧围成的弓形的面积：
176.625－112.5＝64.125(平方厘米)
阴影部分的面积：
138－64.125＝73.875(平方厘米)
答：阴影部分的面积是73.875平方厘米。
例6 如图，在半径ab为20厘米，圆心角为45°的扇形中，以半径ab的中点o为圆心，以oa为半径画一个半圆，交bc于d。求阴影部分的面积。
点拨图中阴影部分看似两个毫不相干的图形，但如果我们连接ad就会发现：弓形bd和弓形ad的面积相等，如果用圆心角45°的扇形面积减去中间等腰直角三角形的面积，就可以求出两个阴影部分的面积的和。
解圆心角45°的扇形的面积：
×45＝157(平方厘米)
等腰直角三角形adb的面积：
20×(20÷2)÷2＝100(平方厘米)
阴影部分的面积：
157－100＝57(平方厘米)
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
说明在求两块或两块以上阴影部分的面积时，有时也把这几块合在一起求。
例7 如右图所示，大圆的直径是4厘米，黑色面积大还是阴影面积大？是黑色部分周长大，还是阴影部分的周长大？并求出各自的面积。
点拨大圆面积＝×(2＝4(平方厘米)，4个小圆面积＝×(2×4＝4(平方厘米)，由此我们可以看出，黑色部分面积之和正好等于四个小圆互相重叠的部分面积之和，所以这两部分的面积应相等。
黑色部分的周长应该等于大圆周长再加上8个的小圆周长，而阴影部分的周长恰好等于8个小圆的周长，所以黑色部分的周长大于阴影部分的周长。
解 s大圆＝×(2＝4(平方厘米)
s小圆＝×(2＝(平方厘米)
s阴＝8×(－1×1÷2)＝2－4(平方厘米)＝2.28(平方厘米)
s黑＝s大圆－(4s小圆－s阴)＝4－(4－2.28)＝2.28(平方厘米)
s阴＝s黑。
c大圆＝×4＝4
c小圆＝×2＝2
c黑＝4＋8××2＝8
c阴＝8××2
c黑＞c阴。
解题技巧。计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。
计算组合图形的面积，有很多图形都是不规则的，很难直接用公式计算出它们的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添加辅助线、割补、等积变形等方法，化难为易，这需要精巧的构思和恰当的解题策略，从而提高自己的形象思维和抽象思维能力。
竞赛能级训练。
a 级。1.(第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)如下左图，圆o中直径ab与cd互相垂直，ab＝10厘米，ca＝50厘米。
以c为圆心，ca为半径画弧。求月牙adbea(阴影部分)的面积。
2.(第五届“希望杯”邀请赛试题)如上右图，大圆直径上的黑点是五等分点，则a、b、c三部分的面积比为 。
3.如下左图所示，正方形的边长为10厘米，在正方形中画了两个四分之一圆，试求图中阴影面积。
4.如上右图，三角形abc是直角三角形，阴影工的面积比阴影ⅱ的面积小23平方厘米。问bc的长度是多少厘米？(取3)
5.如下左图，直径ab为3厘米的半圆，绕a逆时针旋转60°，使ab到达ac位置。求图中阴影部分的周长。
6.上右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
7.如下左图所示，正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。
8.如上右图所示，小明从家到学校有三条由半圆弧组成的路可以走，怎么走近？为什么？
9.有一个长方形如下左图所示位置，在桌子上不滑动地每秒钟转动90°。试回答下列问题：
1)如果长方形ab＝3厘米，ad＝4厘米，ac＝bd＝5厘米。把长方形转动一周后，顶点a所经过的痕迹的长是多少厘米？
2)13秒以后，长方形b点离a点开始位置的水平距离是多少厘米？
10.如上右图所示，已知扇形的弧长为12.56厘米。求阴影部分的面积。
11.右图是400米跑道的示意图，两头是两个半圆，每一个半圆的弧长是100米；中间是直线，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。
12.求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米)
b 级。1.将边长为1的正三角形放在一条直线上(如下左图)，让三角形绕顶点c顺时针转动到位置2，再继续这样转到3的位置。求a点走过的痕迹的长度。
2.上右图中的三角板(等腰直角)、正方形纸板、圆形纸板的面积都是40cm2，阴影部分的面积总和是30cm2，三张纸板盖住的面积总和是70cm2。求三张纸板重叠部分a的面积。
3.下左图是＝座古钟的示意图，有白、黄、蓝三部分。试问白色部分的面积与蓝色扇形的面积谁更大一些？为什么？
4.上右图中正方形的周长是圆环周长的3倍。当圆环形绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
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