本章讨论求解线性方程组。
求阶线性方程组。
的数值方法，该问题在工程技术中经常涉及到，是一个应用相当广泛的课题。
为方便起见，将线性方程组（6-1）写成矩阵形式。
其中。 ,有线性代数知识得到，当，方程组（6-1）有唯一解，并且可用gramer（克兰姆）法则将解表示出来，即：
gramer法虽然是解线性方程组的一种方法，但是计算量太大。因为一个n阶方程组需要计算n+1个n阶行列式，若n阶行列式采用代数余子式之和计算时，需要做n！次乘法运算，所以，运算量太大。
迭代法具有存贮量少、程序计算简单和原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但也存在着迭代序列的收敛性以及收敛速度等问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。本章介绍的求解线性方程组的直接方法是gauss消去法、gauss－jordan消去法和矩阵分解方法。
5.1 线性方程组的求解方法。
5.1.1 gauss消去法
1. gauss消去法的的基本原理。
化线性方程组为等价的三角形方程组的方法有多种，由此导出不同的直接方法，其中gauss消去法是最基本的一种方法。先举例说明gauss消去法的基本思想的过程。
例6-1】解线性方程组。
解先消去方程组（6-3）中后两个方程中的变量，得同解方程组。
再消去方程组（6-4）中第三个方程中的变量，又得（6-3）的同解方程组。
这是一个三角形方程组。由（6-5）容易解出。
上述求解过程的基本思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三解形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。
这种方法称为gauss消去法，它由消元过程和回代过程构成。
为后面符号统一起见，将方程组（6-1）改写成以下形式。
简记为其中。
一般地，求解阶方程（6-1）的gauss消去法步骤如下：
消元过程。第一步：设记，将式(6-6)中的第个方程减去第1个方程乘以，完成第一次消元，得(6-6)的同解方程组。
其中。方程组（6-7）简记为。
第二步：设，记，将式(6-7)中的第个方程减去第2个方程乘以，完成第二次消元，第步：设第次消元完成后得方程组（6-6）的同解方程组为。
简记为。设，记，将式(6-8)中的第个方程减去第个方程乘以，完成第次消元，得同解方程组。
其中其中。按上述作法，完成次消元后，方程组（6-1）化成同解的上三解方程组。
简记为。回代过程。
按变量的逆序逐步回代得方程组（2-1）的解。
算法。1）输入，置。
2）若，转3；否则输出失败信息，停机。
3）对。置。对。置。
4）若，转5；否则，转2
5）若，输出失败信息，停机；否则。
6）对。置。
7）输出，停机。
gauss消去法的计算量。
由于计算机作乘除运算所需时间远大于作加减运算所需时间，故我们只讨乘除运算量。
由于消去法步骤知，在进行第次消元时，需要作除法次，乘法次，故消元过程中乘除运算总量为。
乘法次数。除法次数。
由式（6-11），在回代过程中，计算需要次乘除法，整个回代过程要乘除运算的总量为为，所以gauss消去法的乘除总运算量为。
由上式容易求出，用gauss消去法求解30个阶线性方程时，共需乘除运算次数为
远少于有gramer法则所需的乘除运算量。
gauss消去法简单易行，但其计算过程中，要求均不为零，因而适用范围小，只适用于从1到阶顺序主子式均不零的矩阵，计算实践还表明，gauss消去法的数值稳定性差，当出现小主元素时，会严重影响计算结果的精度，甚至导出错误的结果。
5.1.2 gauss主元素法
先看一例子。
例6-2】求解线性方程组。
式（6-12）中所有系数均有2位有效数字。
解为减小误差，计算过程中保留3位有效数字。按gauss消去法步骤，第一次消元得同解方程组。
第二次消元得。
回代得解。容易验证，方程组（6-12）的准确解为。
显然两者相差很大。但若在解方程组前，先把方程的次序交换一下，如把（6-12）改写成。
再用gauss消去法求解，消元后得同解方程组。
回代得解。与准确解相同。
产生上述现象的原因在于舍入误差。因为按上式的方程顺序进行消元时，主元都比较小，以它们为除数就增长了舍入误差，从而导致计算结果不准确。为了在计算过程中抑制舍入误差的增长，应尽量避免小主元的出现。
如例2中第二种解法，通过交换方程次序，选取绝对值大的元素作主元。基于这种想法导出了主元素法。
列主元素法。
为了简便起见，用方程组（6-1）的增广矩阵。
表法它，并直接在增广矩阵上进行运算。
列主元素法的基本思想是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元，通过方程对换将其换到对角线上，然后进行消元。其具体步骤如下：
第一步：首先在矩阵（6-14）的第1列中选取绝对值最大的元，比如为，则。将（6-14）中第1行与第行互换。为了方便起见，记行互换后的增广矩阵为，然后进行第一次消元，得矩阵。
第二步：在矩阵的第2列中选主元，比如，使。将矩阵的第2行与第行互换，再进行第二次消元，得矩阵。
第步：在矩阵的第列中选主元，如，使。将矩阵的第行与第行互换，进行第次消元。
如此经过步，增广矩阵（6-14）被化成上三角形，最后由回代过程求解。
在上述过程中，主元是按列选取的，列主元素由此法此得名。例6-2中的第二种解法就是按列主无素法进行的。
全主元素法。
如果不是按列选主元，而是在全体待选系数中选取主元，则得到全主元素法，其计算过程如下：
第一步：在全体系数中选取绝对值最大的元素作为主元，并通过行和列的互换把它换到的位置，然后进行第一次消元，得到矩阵。
第步：在矩阵的右下方阶子矩阵的所有元素中，选取绝对值最大的元为主元，并通过行与列互换将它换到的位置，然后进行第次消元。
经过次消元后，得到与方程组(6-1)同解的上三角方程组，再由回代过程求解。
例6-3】用主元素求解线性方程组。
计算过程保留三位小数。
解按列主元素法，求解过程如下：
由回代过程得解。
按全主元素法，求解过程如下：
由回代过程得解。
例3的计算结果表明，全主元素法的精度优于列主元素法，这是由于全主元素是在全体系数中选主元，故它对控制舍入误差十分有效。但全主元素法在计算过程中，需要同时作行与列的互换，因而程序比较复杂，计算时间较长。列主元素法的精度虽稍低于全主元素法，但其计算简单，工作量大为减少，且计算经验与理论分析均表明，它与全主元素法同样具有良好的数值稳定性，故列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。
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