2010学年春季学期高等代数ii答案 a卷。
一．判断题。1.错 2.错 3.错 4.对 5.对。
二．填空题：1．一组基为，维数是3； 2． ；3． 198 ；
三．证明：1）0，，即，，，所以为的子空间。
）设在下的矩阵为b，则ab=ba。
所以。 ， 即，，，即===0，即，
所以的一组基为，，，其中，，，的维数是3。
四．解；设，问题转化为是否相似。因为，初等因子为：；
而，初等因子为：。
的初等因子不相同，所以不相似。
五．证：1）设， 即。 从而。
故是的不变子空间。
2）由于是的不变子空间，记｜＝，在复数域上，必有特征值，并存在非零向量， 使，故。 又，所以是与的公共特征向量。
六．证明：因为级实对称矩阵，则二次型可通过正交线性变换化为，其中为的全部特征根。
正定的充要条件是全为正数。
七．证明：设是正交变换，是它的特征值，即有，则。
但，所以，即．
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