离散数学。
一． 填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上):
为两个命题，当且仅当 p,q同时为1 时，p∧q的真值为1，当且仅当 p,q同时为0 时，p∨q的真值为0。
2.给定两个命题公式a，b，若p,q的真值相同时，则称a和b是等值的，记作ab.
3. 通常一元谓词表示个体的性质 ，多元谓词表示个体之间的关系 。
4. 设q(x)：x是偶数，p(x)：x是素数，则命题“存在惟一的偶素数”符号化为x(q(x)p(x)y(q(y)p(y))y=x).
5. 公式xy(p(x,y)∧q(y,z))∧xp(x,y)中，x的辖域是y(p(x,y)∧q(y,z))，y的辖域是(p(x,y)∧q(y,z))，x的辖域是p(x,y)。
6. 公式x(p(x)→q(x,y))∨zr(y,z)→s(x)中，自由变元为y , x ，约束变元为 z , x 。
7. 用列举法或描述法表示函数的定义域集合。
8. 设集合a=,b=,则a∪b=, a∩b=
9. 设集合a=,b=，则ba=。
10. 图g有15条边，每个结点的度数均为2，则g有 15 个结点。
二． 选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中括弧内)
1.下面联结词不具有交换律的是( a )
abcd)2.下面语句是真命题的为( c )
a) 我正在说谎。
b) 如果1+2=3,则雪是黑色的。
c) 如果1+2=5,则雪是黑色的。
d) 上网了吗？
3.重言式的否定为( b )
a) 重言式b) 矛盾式
c)可满足式d) 蕴含式。
4. 设a(x):x是人，b(x):x犯错误。命题“没有不犯错误的人”可以符号化为( d)
a)x(a(x) b(xb) x(a(x) b(x))
c) x(a(x)b(xd) x(a(x) b(x))
5. 设集合a=,4},那么下列命题中错误的是( a )
a)ab)}a
c) ad)a
6. 由集合运算的定义，下列命题正确的是( d )
a)(ab)b=ab)(ab)a=b
c)aa=ad)(ab)a=
7. 设集合a=,a上的二元关系r=,则关系r2=( c )a) c)
8. 设r为实数集，函数f：rr，f(a)=a2+2a1，则f是( d )
a)单射而非满射b) 满射而非单射
c) 双射d) 既不是单射也不是满射。
9. 设集合a=，下面定义的二元运算关于集合不是封闭的是( d )
a)xy=max(x,yb) xy=min(x,y)
c) xy=gcd(x,y) (x,y的最大公约数) (d) xy=lcm(x,y)
x,y的最小公倍数)
10. 集合a和二元运算，不构成代数系统的是(b,c)
a) 设a=r，a，ba，ab=ab
b)设a=，a，ba，ab=lcm(a,b)( a,b的最小公倍数)
c)设a=，a，ba，ab=| b|
d)设a=z，a，ba，ab=|ab|
三． (6分)设p：天下雪。
q：我进城。
r：我有时间。
将下列命题形式化：
1)天没有下雪，我也没有进城。
2)如果我有时间，我将进城。
3)如果天不下雪而我又有时间，我将进城。
四． (8分)试证：p∨q，p→r，q→ss∨r。
五． (10分) 设a=，其中= 。判断二元关系的性质，并作出其关系图和关系矩阵。
解：由题设知。
从而可知二元关系是自反、对称、传递的。
的关系矩阵为：
的关系图为：
六． (10分)设r是实数集，令r*=r，在集合r r*中定义二元运算为。
a，b)(c，d)=(ac，bc+d)
证明代数系统(r r*，)是一个群。
证明：任取(a,b),(c,d),(e,f)r*r。
1)由定义，(a,b)(c,d)= ac，bc+d)，∵a , cr*,∴acr*,而bc+dr，∴(a,b)(c,d) r*r.因此运算在r*r上是封闭。
2) ∵a,b)(c,d))(e,f)= ac，bc+d)(e,f)
(ace，(bc+d)e+f)= ace，bce+de+f)
a,b)((c,d)(e,f))=a，b)(ce,de+f)= ace，bce+de+f)
((a,b)(c,d))(e,f)= a,b)((c,d)(e,f)).
因此运算在r*r上是可结合的。
3) ∵a,b) r*r, (a,b)(1,0)=(1,0)(a,b)=(a,b)
因此运算在r*r上有单位元(1,0)。
4) ∵a,b) r*r, ar*,即 a0, ∴有。
(a,b)(1/a,b/a)= 1/a,b/a)(a,b)=(1,0).
从而知(a,b)有逆元(1/a,b/a)。综合以上讨论，根据群的定义知代数系统(r r*，)是一个群。
七． (6分)已知图g的邻接矩阵如下：
请画出图g的图形。
解：根据图与邻接矩阵之间的关系，可以画出图g的图形为。
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