数学有数。
隋玉梅。导数内容引入高中教材，极大地丰富了高中生研。
究数学问题的方法，导数的应用实现了函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇，涉及多种数学思想方法，如：数形结合、分类讨论、等价转化等．在高考中导数的应用相当重要，其考点主要包括：
点评】本部分考题类型主要是应用导数基本公。
式及求导法则解决与导数计算及曲线的切线及利用导数的几何意**决较简单的函数解析式问题．
导数的概念及几何意义、以导数为工具研究函数的。
二、考查含参数的函数的单调性、极值和最值。
例２．（年高考北京理）已知函数『（＝似。
单调性、极值、最值等．知识载体主要是三次函数、
指数函数、对数函数及分式函数．下面通过２０１年高。
考试题加以分析说明．
一。考查导数的概念及几何意义。
１）若曲线舷）与曲线ｙ＿ｇ在它们的交点（１，处具有公共切线，求ａ，ｂ的值；
２）当ａ２＝时，求函数／ ）的单调区间，并求其在区间（一 ，一１１上的最大值．
例１．（年高考广东理）曲线，，，在点（１，处的切线方程为。
分析】此题主要考查利用导数求函数在某点处。
的切线方程及导数的几何意义．应属于容易题．求出函。
分析】此题主要考查的函数的切线、单调性、
极值以及最值的问题，应该说是导数题目中较为常规的类型题目．…１利用两函数在同一点处具有公共切线这一条件，里面包含两层含义：一是在这一点的函。
数在 ＝１时的导数就得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．
解析所以切线方程为ｙ－３一１），即。
１）本着……为原则——本着…原则；以……
为原则。数值相等，二是在这点处的切线斜率相等即在这点的。取得的。
１３）关键在于……是十分重要的——关键于。
…：…是十分重要的。
２）以……即可——以……为宜；……即可（３）是为了……为目的——以……为目的；是为。
了……１４）围绕以……为中心——围绕……中心；以。
为中心。４）对于……问题上——对于……问题；在……
问题上。１５）大多以……为主——大多是……；以……为主。
５）由于……下——由于……；在……下（６）原因是……造成的——原因是……；是由。
１６）成分是……配制而成的——成分是……；
由……配制而成的。
造成的。１７）是由于……的结果——是由于……；是。
７）经过……下——经过……；在……下（８）出于……决定的——是出于……；是由。
的结果。１８）关键是与……分不开——…关键是……；
决定的。与……分不开。
９）借口……为名——借口……；以……为名（１０是因为……的原因——是因为……；
是原因。１９）超过……以上——超过……；在……以上。
２０）深受……所欢迎——深受……欢迎；为。
所欢迎。１１）有……组成——有……；由……组成（作者单位：广州市第六中学）
责任编校。彭。
琳。１２）靠的是……取得的——靠的是……；是。
矗中２０１年第｛０嬲。
数学脊数。导数相等，来求解ａ，ｂ由于函数／ ）的表达。
求出ｙ 舷）的导数，根据１和一１是函数值点代入列方程组求解即可．
２）由（１）得／ ）求出ｇ ）令论即可．
的两个极）＝０求解讨。
式中含有参数，故需要分类讨论，分类标准应考虑区间（＿∞一１］的端点一１与函数单调区间的关系．
解析】（１由（１，为公共切点，可得 ）＝船＋１＞
），贝贝。３）比较复杂，先讨论关于的方程／ ）根的情。
即ａ＝ｂ代人①式。
况，分１ｄ 和ｉｄ 再考虑函数 ＝ 的零点．
解析】（１由／ ）似。＋ｂ得ｆ ）似＋６．
和一１是函数。
＋ 的两个极值点（１）
＝ｏｆ一解得 ０，
可得。设则令 ）＝解得一ａ，一。
２）‘由（１）得舷）＋２一３ｘ＋一１）＋解得。
当 ＜一２时，ｇ 当一２＜ｘ时）＞０一２当一２＜ｘ或ｘ＞ｌ时不是ｇ ）的极。
是 ）的极值点．
协。 一 ａ＜一ａ
原函数在（－０手）单调递增，值点，．．的极值点是一２．
３）令／ ）则）＝ｆ先讨论关于的方程／ ）
在（一手，一ａ，￣差减，在（一ａ，＋上单调递增。
根的情况：ｄ∈一２，２
当１ｄ 时，由（２）可知 ＝一２的两个不同的根为１
和－２，注意到／ 是奇函数＇．．的两个不同的根为１
若一１≤一手，即。≤２时，最大值为 （１俨芋；
若一ａ＜一ｌ＜－即２＜ａ时，最大值为 （＿
和一２．当ｉｄ 时，‘．丹。
－．．一。）一。
若一１＞１一时，即最大值为 （一手）＝１
综上所述，当。（０时，最大值为 （１一手；当。
（２时，最大值为＊一）＝１
．，－都不是ｊ（ｘ的根．
由（１）知ｆ仁。
当 ∈（时）＞ｏ于是 ）是单调增函数，从而 ）坝２）：
此时／ ）在（２，无实根．
当 ∈（时．ｆ 于是／ ）是单调增函数．
点评】本题重在强化对函数定义域的关注，以及。
对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧．首先。
又‘．１一的图像不间断 ．ｉ在（１，内有唯一实根．同理如）＝ｄ在（一２，一１）内有唯一实。
根．关注函数定义域．利用导数求出单调区间进而求极值。
及最值．往往是给定区间上的最值问题。含有字母参数的应重点分析参数的取值范围对结论的影响．
三、考查利用导数处理函数的零点存在与分布问题。
例３．（年高考江苏）若函数），）在ｘ＝ｘ处。
当 ∈（一１，１时）＜０于是 ）是单调减两数．
又’．一１）一ｄ＞ｏ一ｄ＜ｏ舷）一ｄ的图像不间断）＝ｄ
在（一１，１有唯一实根．
取得极大值或极小值，则称 。为函数弓舷）的极值点．已知ａ，ｂ是实数，１和一１是函数 ）＋似＋ｂｘ的两个极值点．
因此，当ｌｄ 时：）＝有两个不同的根ｘｌ，满足当ｌｄ 时 ）＝有三个不同的根。
满足现考虑函数∽的零点：（ｉ当ｉｃｉ时 ）＝有两个根ｔｌ，满足。
．而／ ）有三个不同的根√ ）有两个不同的根，１）求ａ和ｂ的值；（２设函数ｇ ）的导函数点；
故ｙ＝＾有５个零点．
舷）＋２求ｇ ）的极值。
ｉｉ）当ｉｃｌ时＝＝ｃ有三个不同的根ｆｔ满足而＝３＇有三个不同的根，故ｙ－－
有９个零点．
３）设）似））一ｃ，其中ｃ∈［一２，２求函数ｙ＝ 的零点个数．
分析】此题主要考查函数取极值的条件及函数。
零点的条件．属于综合性问题，解答过程较繁且难．（１
蕊。综上所述，当ｌｃ 时，函数，，∽有５个零点；当ｉｃｉ时，函数ｙ－－个零点．
点评】函数零点或方程实数根与函数的单调性。
０１２年螭ｌ０嘲。
数学肖数。关系是此类题目设置问题的关键．处理零点问题的基。
本方法是利用函数的单调性及极值、最值来处理函数的图像与轴交点问题．而此题又涉及到了复合函数的零点问题．处理时应注意分层来进行．
ａ（ｘ一１］ｄ一２）一１］．
令 ）＝一ｔ一１，贝０）＝一１．
当ｔ＜０时，ｆ（单调递减；当ｔ＞ｏ时，ｆ 单调递增．
四、考查恒成立与存在性问题。
例４．（年高考湖南理）已知函数／ ）其。
中。≠０故当ｔ＝ｏ即ｅｔ－一１＞０
从而ｅ。一０［ｒ一一。
１）若对一切ｒ，ｌ恒成立，求ａ的取值集合．
０，—一＞０所以因为函数 ＝ 在区。
２）在函数的图像上取定两点ａ１）
），记直线ａｂ的斜率为 ，问：是否存在‰∈ 使。间。
］上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在。
）使单调递增，故这样。
０）成７７７若存在，求 。的取值范围；若不存在，请说。
明理由．ｎ一故当且仅当 ∈（的ｃ是唯一的，且。
分析】此题主要考查利用导函数研究函数单调。
性、最值、不等式恒成立问题．
地。１）利用导函数法求出 ）取最小值／（１
一。综上所述，存在粕 ｘ。使ｆ ０成立，且勖。
的取值范围为（ａ
ｎ ．对一切 ∈ｒ恒成立转化为／≥１看 ２’
从而得出ａ的取值集合；（２在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断．
一。点评】不等式恒成立问题为函数求最值，般都转化为ａｘ）恒成立，也就是函数ｙ）的最小值不小于ｍ即可，而存在性问题与恒成立问题的最大区别是存在只需有一个满足条件的即可．是否存在又是。
一。解析】（１若ａ＜０则对一切这与。
题设矛盾，又ａ＃ｏ故ａ＞０而ｆ ）伽 １，令ｆ ）得。
个**性问题．结论不告诉．需经过推理论证自己得出。
符合题意的结论．比纯粹证明题的难度有所增加．
五、考查利用导数证明不等式问题。
当 ＜ 时，ｆ，单调递减；当 ＞
例５．（年高考辽宁理）设。
时 ）＞单调递增，故当 ＝ｌ时 ）取最。
小值以 ｌ）一 ｌｎ
为常数），曲线点ｆ０，相切．
１）求ａ，ｂ的值．
２）ｉ当０ ＜时 ）＜
与直线ｙ＝在。
于是对一切 ∈ｒ恒成立，当且仅当一ｌｎ
分析】本题主要考查函数的切线及利用导数证函。
数不等式．（１根据条件曲线ｙ专舷）与直线），＝相切，求出。
在点。令ｇ ）一ｔｌｎ贝０ｇｏ一ｌｏｔ
当ｏ＜ｔ时，ｇ∞单调递增；当 ＞１时单调递减．
的值，（２利用函数的单调性或者均。
故当ｔ＝ｌ时，取最大值 １）因此，当且仅当｝
值不等式证明 ）＜即可．
即ａ＝ｌ时，①式成立．
综上所述，ａ的取值集合为｛１｝由题意知，ｋ：
三 ：！一１．
解析】（１由ｙ＝ｌ的图像过点（０，代人得６：一１．
由 ＿厂 ）在（０，处的切线斜率为，又ｙ ｉ
得 令－／一删）一。
２）（证法一）由均值不等式，当ｘ＞ｏ时。
勰中２０｛年第｛０嬲２７
数学有数。１＋１肼２，故、 ｒ
的解题障碍，在复习时要特别关注问题的转化过程．题目千变万化，但万变不离其宗，只要认真的对往年高考。
协∽ 一删＝＋
一丽５４＝试题进行分析，还是能找到命题者的命题思路．
为检测对本文的理解，特设置如下三个小题．以检验同学们的学习效率．
．已知函数／ ）一ｌ眦．
１）若／ ）在（０，上是减函数，求。的取值范围；
旦盟一旦：一一今。
一＋１）酽“
一。峋 ２１则当也时。
因此。所以 ∽＜
０，２内是减函数，又由ｇ（０得０，２函数－，）是否既有极大值又有极小值？若是，求出ａ的取值范围；若不是，请说明理由．
．已知函数／ ）慨。
１）当ｋ＝２时，求曲线ｙ）在点（１，处的切线。
因此 ∞在（０，内是减函数，又由 （０得 ∞＜
于是当ｏ＜ｘ时，）＜
证法二）由（１）知当ｘ＞ｏ时，２、
一１，由均值不等式， ＋七。
方程：１＋１故、／
２）求 ）的单调区间．参***：
则。当ａ＞２时＿，）既有极大值，又有。
极 ｊ、值．，故）＜０即由此得：当ｘ＞ｏ时记则当ｏ＜ｘ时，）舷）＋
．（１一当ｋ＝ｏ时，）的单调递。
增区间是（一１，ｏ手卅 （＋
单调递减区间是（０，当ｏ＜ｋ时，的单调递。
增区间是（＿１和（与 ，＋单调递减区间是（ｏ，与 ）厅．
当ｋ＞ｌ时，的单调递增区间是（一１，与 ）和（０，单调递减区间是（与 ，／
２＋）一争）一１８１
因此 ）在（０，内是减函数，又由＾（０得＾ ）即 ）‘
作者单位：山东省聊城第三中学）
责任编校。徐国坚。
点评】利用导数来证明函数不等式，常常是通。
过构造新函数，证明新函数的单调性及最值而实现问。
题的证明．通过对２０１年导数部分的试题分析我们可以看到：用导数解决函数的单调性、极值、最值问题是各省市高考试题的重点，是压轴题经常出没之地，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点．
为迎接２０１年高考。同学们在复习这部分时，一。
是要把握基础知识，如导数的几何意义，导数的四。
则运算法则，基本函数的导数公式等必须熟记，对于求导后的细节问题。如：参数的取值范围是否影响了。
函数的单调性？是否需要分类讨论？如何进行讨论？当参数取值范围明确后，再根据导函数的特点来进行问题。
处理．特别关注由导函数的性质可推至原函数什么性质：如何构造函数来处理面对的恒成立及不等式问题？题目中的隐含条件是否注意到？这都是题目设计者设置。
高中２０１年第１０期。
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