电子科技大学二零零至二零零学年第学期期考试。
随机信号分析课程考试题 b 卷 （ 120 分钟） 考试形式： 一页纸开卷考试日期 200 年月日。
课程成绩构成：平时 20 分， 期中 10 分， 实验 0 分， 期末 70 分。
十一道题仍选十道题做。
1. （7分）若随机信号，其中为常数，c是且c的方差，讨论。
1） x(t)的均值函数和自相关函数；
2） x(t)的各种平稳性；
3） x(t)的均值各态历经性。
解：（1）
2) 由（1）知x(t)是广义平稳的。并且x(t)是严格平稳的。它也是严格周期平稳的和广义周期平稳的。
3)，因为，所以，故x(t)不是均值各态历经的。
2. （7分）设有随机过程，其中a是均值为零，方差是2的正态随机变量，求：
1） x(t)的均值函数和自相关函数；
2） x(1)和的概率密度函数；
3） x(t)是否为广义平稳随机过程？
4） x(t)是否均值各态历经？
解：（1）
与t有关 (2 ) 由于正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变量，所以。
3）因为与t有关，所以x(t)不是广义平稳随机过程。
因为，所以x(t)是均值各态历经的随机过程。
3. （7分） 设x(t)是雷达的发射信号，遇到目标后返回接收机的微弱信号为其中，常数是信号返回时间。由于接收到的信号伴有噪声，记噪声信号为n(t)，故接收到的信号为。
若x(t)和 n(t)都是零均值的广义平稳随机信号，且相互独立，其中x(t)的自相关函数为，n(t)的自相关函数为。
1） 求接收到的信号y(t)的均值函数和自相关函数；
2） 求接收到的信号y(t)和发射信号x(t)的互相关函数。
3） 判断接收到的信号y(t)的广义平稳性。
4） 发射信号x(t)和接收到的信号y(t)是否联合广义平稳。
解：(1) x(t)和 n(t)都是零均值的广义平稳随机信号，且相互独立，所以x(t)和 n(t)正交且联合广义平稳，即。所以：
3） 由（1）知，y(t)均值为常数0，相关函数只与有关，所以。
y(t)是广义平稳的随机信号。
由于x(t)和y(t)都是广义平稳的随机信号，且，所以x(t)和y(t)是联合广义平稳的随机信号。
4. （7分） 判断题：
1） 试判断下列函数可否作为实广义平稳随机信号的自相关函数？若是，请求出对应随机信号的平均功率；若不是，请说明原因。
a) b)
c) 2） 试判断下列函数可否作为实广义平稳随机信号的功率谱密度函数？若是，请求出对应随机信号的平均功率；若不是，请说明原因。
a) b)
解：（1）a) 可以。
b) 可以。
c) 可以。，
2）实广义平稳随机信号的功率谱密度函数是非负实偶函数。
a) 不可以。
当时， b) 可以。
5.（7分）设有正弦波随机过程，其中为常数，幅度是一个均匀分布的随机变量，1） 画出过程的几个样本函数图形；
2） 求在给定时刻时 ，x(t) 的一维概率密度函数，并画出它们的曲线。
解： （1）
要求：标出至少一个时刻位置，并示出幅度在[-1,+1]范围内。） 3分）
可见，在上均匀分布，于是。
因此取值只有0。因此。
6. （7分）随机信号x(t)=acos(ωt)与y(t)=（1－b）cos(ωt)，其中a与b同为均值2、方差的高斯随机变量，a、b统计独立，ω为非零常数。
1） 求两个随机信号的均值，互相关函数、互协方差函数；并讨论两个随机信号的正交性、互不相关性、统计独立性。
2） 求。解：（1）
所以，随机信号x(t)与y(t)不正交 ，但互不相关，又因为x(t)与y(t)是高斯随机信号，故两者相互独立。
2）x(0)=a与y(0)=（1－b）， 于是，根据独立性，7．（7分）参数为的指数分布随机变量的特征函数是。
求：（1）的特征函数；
2）利用特征函数计算的均值；
解： 1）利用性质。
2）利用性质。
因此， 8.（7分）理想高斯带通白噪声n(t)是零均值平稳的。它的中心频率，带宽为b(hz)，双边谱密度为，它的两个正交分量为与。
求：（1）n(t)的同相分量的相关系数；（2）写出n(t)的正交分量的概率密度函数；（3）写出n(t)的两个正交分量的联合概率密度函数。
解：1） 由公式，正交分量的功率谱为。
进而得到，注意到均值为零，2） 正交分量具有高斯分布，并与n(t)有同样的方差，，于是，3）由公式，两个分量的互谱为0，根据高斯特性，它们彼此独立。又它们有相同分布，于是。
9. （7分）双边功率谱的零均值平稳白噪声随机信号，通过如图所示的线性系统后，得到随机信号。其中。试求：
1）的平均功率2）系统的等效噪声带宽。
解：（1）广义平稳。
10. （7分）设电路的传递函数为，输入电压为，其中为在上均匀分布的随机变量。试求输出电压的自相关函数。
解： 广义平稳，则也广义平稳。
11.（7分）设理想低通滤波器得传递函数为，当输入为时，测得系统输出功率为2w。若为零均值高斯白噪声，试求滤波器输出信号的一维概率密度函数。
解：根据题意可知，余弦信号的频率在通带内。在输出端产生1w的功率。由于余弦信号为确定信号，与噪声独立。）
因此输出噪声为1w的高斯白噪声概率密度函数为，
输出信号，为非平稳随机信号。
与t有关。其概率密度函数为。
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