2011—2012学年度高三10月月考数学试题（文）
一、选择题（每小题5分，共计60分）
1．设集合，，则等于。
ab． cd．
2．直线垂直于平面内的无数直线是的。
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
3．命题“存在r，0”的否定是。
a．不存在r, >0b．存在r, 0
ｃ．对任意的r, 0对任意的r, >0
4．设是定义在上的奇函数，当时，，则。
abc．１ d．３
5．若函数的定义域为，且，则函数的定义域为（ ）
a． bcd．
6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、 西、北．现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是 （
a．南 b．北
c．西 d．下。
7．设，则“”是“”的。
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
8．设，则不等式的解集为。
a． b． c． d．（1，2）
9．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为。
a．6b．7c．8d．9
10．定义在ｒ上的奇函数满足：，，则。
11．设函数，则的值域是。
a． b．
cd．12．函数的定义域为，且为奇函数，当时，则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是（ ）
a．1 b．2c．4d．5
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．的单调递减区间是。
14．命题为假命题，则实数a的取值范围是___
15．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的是 ．（写出命题的标号）
16．把边长为的正方形abcd沿对角线ac翻折，则过a，b，c，d四点的球的体积 ．
三、解答题（共计70分）
17．（本小题10分）
已知集合，，且，求实数m的值组成的集合．
18．（本小题12分）
设分别是函数的极小值点和极大值点．已知，求的值及函数的极值．
19．（本小题12分）
如图5－16－4所示，已知abcd－a1b1c1d1是底面为正方形的长方体，∠ad1a1＝60°，ad1＝4，点p是ad1上的动点．
1）当p为ad1的中点时，求异面直线aa1与b1p所成角的余弦值；
2）求pb1与平面aa1d1所成角的正切值的最大值。
20．（本小题12分）
已知函数 ⅰ）若函数的最小值是，且，求。
的值；ⅱ）若，且在区间（0,1]上恒成立，试求b的取值范围。
21．（本小题12分）
如图所示，在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，ab＝5，aa1＝4．（1）求证：ac⊥bc1；（2）在ab上是否存在点d，使得ac1∥平面cdb1，若存在，确定d点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
22．（本小题12分）
已知函数的定义域是，且满足对于定义域内的任意，都有， 且当时，．
1）求证：是偶函数；
2）求证：在上是增函数；
3）解不等式．
参***。一、选择题（每小题5分，共计60分）
1．bbdad bbcbd dd
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．的单调递减区间是1,3））
14．命题为假命题，则实数a的取值范围是。
15．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的是 ．（写出命题的标号） ①正确。
16．把边长为的正方形abcd沿对角线ac翻折，则过a，b，c，d四点的球的体积。
三、解答题（共计70分）
17．（本小题10分）
18．（本小题12分）
19．（本小题12分）
1）解法一：过点p作pe⊥a1d1，垂足为e，连接b1e（如图），则pe∥aa1，∴∠b1pe是异面直线aa1与b1p所成的角．在rt△aa1d中，∵∠ad1a1＝60°，∠a1ad1＝30°，a1b1＝a1d1＝ad1＝2，a1e＝a1d1＝1．
又pe＝aa1＝．
在rt△b1pe中，b1p＝＝2，cos∠b1pe＝＝＝
异面异面直线aa1与b1p所成角的余弦值为．
解法二：以a1为原点，a1b1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则a1（0,0,0），a（0,0,2），b1（2,0,0），p（0,1，），0,0，2），＝2,1，），cos〈，〉
异面直线aa1与b1p所成角的余弦值为．
2）由（1）知，b1a1⊥平面aa1d1，∠b1pa1是pb1与平面aa1d1所成的角且tan∠b1pa1＝＝，当a1p最小时，tan∠b1pa1最大，这时。
a1p⊥ad1，由a1p＝＝，得tan∠b1pa1＝，即pb1与平面aa1d1所成角的正切值的最大值为．
20．（本小题12分） 已知函数 （ⅰ若函数的最小值是，且，求的值；（ⅱ若，且在区间（0,1]上恒成立，试求b的取值范围。
21．【解答】 在直三棱柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，ab＝5，ac，bc，cc1两两垂直，以c为坐标原点，直线ca，cb，cc1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则c（0,0,0），a（3,0,0），c1（0,0,4），b（0,4,0），b1（0,4,4）．
1）∵＝3,0,0），＝0，－4,4），∴0，∴⊥ac⊥bc1．
2）假设在ab上存在点d，使得ac1⊥cd，则＝λ＝
－3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则d（3－3λ，4λ，0），于是＝（3－3λ，4λ，0）．由于＝（－3,0,4），且ac1⊥cd，所以－9＋9λ＝0得λ＝1，所以在ab上存在点d使得ac1⊥cd，且这时点d与点b重合．
3）假设在ab上存在点d使得ac1∥平面cdb1，则＝λ＝3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则d（3－3λ，4λ，0），＝3－3λ，4λ－4，－4），又＝（0，－4，－4），＝3,0,4），ac1∥平面cdb1，所以存在实数m，n，使＝m＋n成立，∴m（3－3λ）＝3，m（4λ－4）－4n＝0，－4m－4n＝4，所以λ＝，所以在ab上存在点d使得ac1∥平面cdb1，且d为ab的中点．
22．（本小题12分）已知函数的定义域是，且满足对于定义域内的任意，都有， 且当时，．（1）求证：是偶函数；（2）求证：在上是增函数；（3）解不等式．
（３）可化为。解得）
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