2024年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合题。
整数根、系数是整数问题。
1.（昌平23．）已知m为整数，方程=0的两个根都大于-1且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．
2.（房山）23．）已知：关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3=0.
当m取何整数值时，关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3=0的根都是整数；
若抛物线向左平移一个单位后，过反比例函数上的一点（-1,3），求抛物线的解析式；
利用函数图象求不等式的解集。
3.（平谷23）已知抛物线．
1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；
2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为．若为坐标轴上一点，且，求点的坐标．
4.（门头沟23） 已知抛物线y＝ax2＋x＋2.
1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；
3)若a是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点m(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点n(n，0). 若点m在点n的左边，试比较a1与a2的大小。
5.（怀柔23）已知抛物线(m为常数) ．
1）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，求m的整数值；
（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；
3）若点m(x1，y1)与点n(x1＋k，y2)在（2）中抛物线上 (点m、n不重合), 且y1=y2.
求代数式的值。
6．（西城25）在平面直角坐标系xoy中，抛物线的顶点为m，直线，点为轴上的一个动点，过点p作轴的垂线分别交抛物线和直线于点a，点b.
⑴直接写出a，b两点的坐标（用含的代数式表示）；
设线段ab的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段ob与线段pm的位置关系和数量关系；
3)已知二次函数（，，为整数且），对一切实数恒有≤≤，求，，的值。
利用数形结合研究交点、方程的根。
1.（东城23.） 已知关于的方程．
1） 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
2）若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）．
2.（海淀23）已知抛物线与x轴交于a、b两点．
1）求m的取值范围；
2）若m>1, 且点a在点b的左侧，oa : ob=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；
3）设（2）中抛物线与y轴的交点为c，过点c作直线l //x轴， 将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折， 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象。 请你结合新图象回答： 当直线与新图象只有一个公共点p(x0, y0)且 y07时， 求b的取值范围。
3.（通州22．）已知关于的方程。
1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根。
2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式。
3）在直角坐标系中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线与（2）中的函数图象只有两个交点时，求的取值范围。
4.（延庆23） 已知：关于x的一元二次方程。
1)若此方程有实根，求m的取值范围；
2)在(1)的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
3)在(2)的前提下，二次函数与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆p,设直线l的解析式为y=x+b,若直线l与半圆p只有两个交点时，求出b的取值范围。
5．已知二次函数．
1）当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
利用反比例函数的性质分析问题。
1．（石景山）已知：直线分别与 x轴、y轴交于点a、点b，点p（，b）在直线ab 上，点p关于轴的对称点p′ 在反比例函数图象上．
1) 当a=1时，求反比例函数的解析式；
2) 设直线ab与线段p'o的交点为c．当p'c =2co时，求b的值；
3) 过点a作ad//y轴交反比例函数图象于点d，若ad=，求△p’do的面积．
解：2.（西城23） 在平面直角坐标系xoy中，a为第一象限内的双曲线（）上一点，点a
的横坐标为1，过点a作平行于 y轴的直线，与x轴交于点b，与双曲线（）
交于点c . x轴上一点位于直线ac右侧，ad的中点为e.
(1)当m=4时，求△acd的面积（用含，的代数式表示）；
(2)若点e恰好在双曲线（）上，求m的值；
(3)设线段eb的延长线与y轴的负半轴交于点f，当点d的坐标为时，若△bdf的面积为1，且cf∥ad，求的值，并直接写出线段cf的长。
简单代几综合。
1.（丰台23）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；
2）若抛物线与x轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k的值；
3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点c，点p是射线oc上的一个动点（点p不与点o、点c重合），过点p作垂直于x轴的直线，交抛物线于点m，点q在直线pc上，距离点p为个单位长度，设点p的横坐标为t，△pmq的面积为s，求出s与t之间的函数关系式．
2．（顺义23）如图，直线ab经过第一象限，分别与x轴、y轴交于a、b两点，p为线段ab上任意一点（不与a、b重合），过点p分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为c、d．设oc=x，四边形ocpd的面积为s．
1）若已知a（4，0），b（0，6），求s与x之间的函数关系式；
2）若已知a（a，0），b（0，b），且当x=时，s有最大值，求直线ab的解析式；
3）在（2）的条件下，在直线ab上有一点m，且点m到x轴、y轴的距离相等，点n在过m点的反比例函数图象上，且△oan是直角三角形，求点n的坐标．
3.（大兴24）已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）．
1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；
2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（－1，0）．
求二次函数的解析式；
在平面直角坐标系中，如果点p到x轴的距离与点p到y轴的距离相等，则称点p为等距点．求出这个二次函数图像上所有等距点的坐标．
3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点m（m，0），点n（n，0）．如果点n在点m的右边，且点m和点n都在点（1，0）的右边．试比较a1和a2的大小，并说明理由。
纯代数。1.（密云23）已知关于x的方程，其中a、b为实数．
1）若此方程有一个根为2 a（a ＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围．
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