2024年北京市中考数学二模分类汇编——代几综合题。
动点+面积问题。
1. （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形abcd的底边ab在x轴上，底边cd的端点d在y轴上。直线cb的表达式为点a、d的坐标分别为（－4，0），（0，4）.
动点p从a点出发，在ab边上匀速运动。 动点q从点b出发，在折线bcd上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度。 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动。
设点p运动t（秒）时，△opq的面积为s（不能构成△opq的动点除外）.
1）求出点c的坐标；
2）求s随t变化的函数关系式；
3）当t为何值时，s有最大值？并求出这个最大值。
动点+面积+特殊四边形问题。
2.（昌平24）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形oabc的边长为2cm，点a、c分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点a、b和d(4，)．
1）求抛物线的解析式；
2）在抛物线的对称轴上找到点m，使得m到d、b的距离之和最小，求出点m的坐标；
3）如果点p由点a出发沿线段ab以2cm/s的速度向点b运动，同时点q由点b出发沿线段bc以1cm/s的速度向点c运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设s=pq2（cm2）．①求出s与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
当s=时，在抛物线上存在点r，使得以p、b、q、r为顶点的四边形是平行四边形， 求出点r的坐标．
动点+直角三角形。
3．（石景山）已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点a（0，2m-7）．与直线y＝x交于点b、c（b在右、c在左）．
1）求抛物线的解析式；
2）设抛物线的顶点为e，在抛物线的对称轴上是否存在一点f，使得，若存在，求出点f的坐标，若不存在，说明理由；
3）射线oc上有两个动点p、q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线oc运动，以pq为斜边在直线bc的上方作直角三角形pmq（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△pmq与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．
等腰+动点与图形面积。
4.（平谷25）如图，抛物线与x轴交于点a(－2，0)和b(4，0)、与y轴交于点c．
1)求抛物线的解析式；(2)t是抛物线对称轴上的一点，且△act是以ac为底的等腰三角形，求点t的坐标；(3)点m、q分别从点a、b以每秒1个单位。
长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点m
到达原点时，点q立刻掉头并以每秒个单位。
长度的速度向点b方向移动，当点m到达抛物。
线的对称轴时，两点停止运动．过点m的直线。
l⊥x轴，交ac或bc于点p．求点m的运动时。
间t(秒)与△apq的面积s的函数关系式．
抛物线与图形面积。
5.（大兴25）已知抛物线y = x2 + bx ，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x = c．过点a的直线绕点a (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点b ( x ，y )，交y轴负半轴于点c，过点c且平行于x轴的直线与直线x = c交于点d，设△aob的面积为s1，△abd的面积为s2．
1) 求这条抛物线的顶点的坐标；
2) 判断s1与s2的大小关系，并说明理由．
6.（通州24）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点．
1）求这个二次函数的表达式．
2）连结po、pc，并把△poc沿co翻折，得到四边形pop′c，那么是否存在点p′使四边形pop′c为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
3）当点p运动到什么位置时，四边形abpc的面积最大，并求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积．
抛物线+图形变换+几何最值。
7.（丰台25）如图，将矩形oabc置于平面直角坐标系xoy中，a（，0），c（0，2）．
1) 抛物线经过点b、c，求该抛物线的解析式；
2）将矩形oabc绕原点顺时针旋转一个角度（0°<<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；
3）如图（2），将矩形oabc绕原点顺时针旋转一个角度（0°<<180°），将得到矩形oa’b’c’，设a’c’的中点为点e，联结ce，当 °时，线段ce的长度最大，最大值为。
抛物线+特殊四边形。
8.（顺义25）如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数的图象经过点a（-3，6），并与x轴交于点b（-1，0）和点c，顶点为p．（1）求二次函数的解析式；
2）设d为线段oc上的一点，若，求点d的坐标；
3）在（2）的条件下，若点m在抛物线上，点n在y轴上，要使以m、n、b、d为顶点的四边形是平行四边形，这样的点m、n是否存在，若存在，求出所有满足条件的点m的坐标；若不存在，说明理由．
9.（海淀24） 如图， 在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴负半轴交于点a, 顶点为b, 且对称轴与x轴交于点c.
（1）求点b的坐标 (用含m的代数式表示)；
（2）d为bo中点，直线ad交y轴于e，若点e的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点m在直线bo上，且使得△amc的周长最小，p在抛物线上，q在直线 bc上，若以a、m、p、q为顶点的四边形是平行四边形，求点p的坐。
标。抛物线+圆+特殊四边形。
10.（密云24） 如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点(，0)．
1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点．
在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的抛物线的示意图；
设平移后的抛物线的对称轴与直线（b是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；
3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形．
因特殊情况产生相似。
11.（朝阳25） 在平面直角坐标系中，抛物线经过a（－3,0）、b（4,0）两点，且与y轴交于点c，点d在x轴的负半轴上，且bd＝bc，有一动点p从点a出发，沿线段ab以每秒1个单位长度的速度向点b移动，同时另一个动点q从点c出发，沿线段ca以某一速度向点a移动。
1）求该抛物线的解析式；
2）若经过t秒的移动，线段pq被cd垂直平分，求此时t的值；
3）该抛物线的对称轴上是否存在一点m，使mq＋ma的值最小？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。
抛物线+等分面积。
12.（东城区25）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于a、b两点，点b的坐标为。
1） 求二次函数的解析式及顶点d的坐标；
2） 点m是第二象限内抛物线上的一动点，若直线om把四边形acdb分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；
3） 点p是第二象限内抛物线上的一动点，问：点p在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点p的坐标。
抛物线+几何定值。
13.（房山25）如图，在平面直角坐标系中，点p从原点o出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点o和点p．已知矩形abcd的三个顶点为a（1，0）、b（1，－5）、d（4，0）．
求c、b（可以用含t的代数式表示）；
当t>1时，抛物线与线段ab交于点m．在点p的运动过程中，你认为∠amp的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠amp的值；
在矩形abcd的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的。
点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
抛物线+相似。
14.（怀柔25）如图，已知抛物线过点d(0，)，且在x 轴上截得线段ab长为6，若顶点c的横坐标为4.
1) 求二次函数的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上找一点p，使pa+pd最小，求出点p的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点q，使△qab与△abc相似？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图像信息+几何最值。
15. （延庆）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xoy中，a、c两点的坐标分别为a(4,2)，c(n,-2)（其中n＞0），点b在x轴的正半轴上．动点p从点o出发，在四边形oabc的边上依次沿o—a—b—c的顺序向点c移动，当点p与点c重合时停止运动．设点p移动的路径的长为l，△poc的面积为s，s与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形odef是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m
（2）求b、c两点的坐标及图2中of的长；
3）若om是∠aob的角平分线，且点g与点h分别是线段ao与射线om上的两个动点，直接写出hg+ah的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。
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